Pentru a ilustra numere complexe, considerați un copil care aruncă o minge în aer. De exemplu, presupuneți că mingea este aruncată direct în sus, cu o viteză inițială de 9,8 metri pe secundă. La o secundă după ce a părăsit mâna copilului, mingea a ajuns la o înălțime de 4,9 metri, iar accelerația gravitațională (9,8 metri pe secundă²) și-a redus viteza la zero. Mingea accelerează apoi spre pământ, fiind prinsă de copil la două secunde după ce a fost aruncată. Din ecuațiile de bază ale fizicii, înălțimea mingii în orice moment al timpului este dată de:

h = -gt²/2 + vt

unde h este înălțimea deasupra solului (în metri), g este accelerația gravitațională (9,8 metri pe secundă²), v este viteza inițială (9,8 metri pe secundă) și t este timpul (în secunde).

Acum, să presupunem că vrem să știm când mingea trece o anumită înălțime. Introducând valorilor cunoscute și rezolvând pentru t:

t = 1± √1-h/4,9

De exemplu, mingea se află la o înălțime de 3 metri de două ori: t = 0,38 (la urcare) și t = 1,62 secunde (la coborâre).

Atâta timp cât punem întrebări rezonabile, aceste ecuații oferă răspunsuri rezonabile. Dar ce se întâmplă atunci când punem întrebări nerezonabile? De exemplu: La ce oră ajunge mingea la o înălțime de 10 metri? Această întrebare nu are un răspuns în realitate deoarece mingea nu atinge niciodată această înălțime. Totuși, introducerea valorii h = 10 în ecuația de mai sus dă două răspunsuri: t = 1+ √-1,041 și t =1 - √-1,041. Ambele răspunsuri conțin rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceva care nu există în lume așa cum o știm. Această proprietate neobișnuită a ecuațiilor polinomiale a fost folosită pentru prima oară de matematicianul italian Girolamo Cardano (1501-1576). Două secole mai târziu, marele matematician german Carl Friedrich Gauss (1777-1855) a inventat termenul de numere complexe și a pregătit calea pentru înțelegerea modernă a domeniului.

Fiecare număr complex este suma a două componente: o parte reală și o parte imaginară. Partea reală este un număr real, unul dintre numerele obișnuite pe care le-am învățat cu toții în copilărie. Partea imaginară este un număr imaginar, adică rădăcina pătrată a unui număr negativ. Pentru a menține lucrurile standardizate, partea imaginară este de obicei redusă la un număr obișnuit înmulțit cu rădăcina pătrată a lui unu negativ. De exemplu, numărul complex: t = 1+ √-1,041 este mai întâi redus la: t = 1+ √1,041* √-1 și apoi la forma finală: t =1+ 1,02√-1. Partea reală a acestui număr complex este 1, în timp ce partea imaginară este de 1,02√-1. Această notație permite termenul abstract, √-1, pentru a primi un simbol special. Matematicienii au folosit mult timp i pentru a denumi √-1. În comparație, inginerii electrici folosesc simbolul j, deoarece i este folosit pentru a reprezenta curentul electric. Ambele simboluri sunt comune în DSP. În această carte se va folosi convenția de inginerie electrică j.

De exemplu, toate ce urmează sunt numere complexe valide: 1+ 2 j, 1 - 2 j, - 1+ 2 j, 3,14159 + 2,7183 j, (4/3) + (19/2) j, etc. Toate numerele ordinare, ca: 2; 6,34 și -1,414, pot fi văzute ca un număr complex cu zero pentru partea imaginară, adică 2+ 0j, 6,34+ 0j și - 1,414+ 0j. La fel cum numerele reale sunt descrise ca având poziții de-a lungul unei linii de numere, numerele complexe sunt reprezentate de locații într-un afișaj bidimensional numit plan complex. După cum se arată în figura 30-1, axa orizontală a planului complex este partea reală a numărului complex, în timp ce axa verticală este partea imaginară. Deoarece numerele reale sunt acele numere complexe care au o parte imaginară egală cu zero, linia de numere reale este aceeași cu axa-x a planului complex.

În ecuațiile matematice, un număr complex este reprezentat de o singură variabilă, chiar dacă este compus din două părți. De exemplu, cele trei variabile complexe din figura 30-1 pot fi scrise:

A = 2 + 6j
B = -4 -1,5j
C = 3 - 7j

unde A, B, & C sunt variabile complexe. Acest lucru ilustrează un avantaj puternic și un dezavantaj puternic al utilizării numerelor complexe. Avantajul este prescurtarea inerentă de a reprezenta două lucruri printr-un singur simbol. Dezavantajul este să ne amintim care sunt variabilele complexe și care variabile sunt numere obișnuite. Notația matematică pentru separarea unui număr complex în părțile sale reală și imaginară folosește operatorii: Re( ) si Im( ). De exemplu, folosind numerele complexe de mai sus:

Re A = 2 Im A = 6
Re B = -4 Im B = -1,5
Re C = 3 Im C = -7

Observați că valoarea returnată de operatorul matematic, Im( ), nu include j. De exemplu, Im(3+ 4j) este egal cu 4, nu cu 4 j. Numerele complexe urmează aceeași algebră ca și numerele obișnuite, tratând cantitatea j ca o constantă. De exemplu, adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea sunt date de:

Ecuația 30-1 Adunarea de numere complexe (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + j (b + d)

Ecuația 30-2 Scăderea numerelor complexe (a + bj) - (c + dj) = (a - c) + j (b - d)

Ecuația 30-3 Înmulțirea numerelor complexe (a + b) (c + dj) = (ac-bd) + j (bc + ad)

Ecuația 30-4 Împărțirea numerelor complexe (a + bj) / (c + dj) = (ac + bd) / (c² + d²) + j (bc - ad) / (c² + d²)

Două trucuri sunt folosite atunci când se manipulează astfel de ecuații. În primul rând, ori de câte ori se întâlnește un termen j², se înlocuiește cu -1. Aceasta rezultă din definiția lui j, adică: j² = (√-1)² = -1. Al doilea truc este o modalitate de a elimina termenul j de la numitorul unei fracții. De exemplu, partea stângă a Ec. 30-4 are un numitor de c+ dj. Acest lucru este tratat prin înmulțirea numărătorului și a numitorului cu termenul c - jd, anulând toți termenii imaginari de la numitor. În jargonul domeniului, schimbarea semnului părții imaginare a unui număr complex se numește luarea conjugatului complex. Aceasta este marcată de o stea în colțul din dreapta sus al variabilei. De exemplu, dacă Z = a+ bj, atunci Z^*= a - bj. Cu alte cuvinte, Ec. 30-4 este derivată prin înmulțirea numărătorului și a numitorului cu conjugatul complex al numitorului. Următoarele proprietăți sunt valabile chiar și atunci când variabilele A, B și C sunt complexe. Aceste relații pot fi dovedite prin ruperea fiecărei variabile în părțile sale reale și imaginare și rezolvând algebric.

Ecuația 30-5. Proprietatea Comutativitate AB = BA

Ecuația 30-6 Proprietatea Asociativitate (A + B) + C = A + (B + C)

Ecuația 30-7 Proprietatea Distributivitate A (B + C) = AB + AC

Secțiunea următoare: Notația polară