Spre deosebire de celelalte trei transformate Fourier, DFT vede atât domeniul timp cât și domeniul frecvență ca periodice. Acest lucru poate fi confuz și incomod deoarece majoritatea semnalelor utilizate în DSP nu sunt periodice. Cu toate acestea, dacă doriți să utilizați DFT, trebuie să vă conformați viziunii DFT asupra lumii.

Figura 10-8 prezintă două interpretări diferite ale semnalului din domeniul timp. În primul rând, uită-te la semnalul superior, domeniul timp văzut ca N puncte. Aceasta reprezintă modul în care semnalele digitale sunt de obicei achiziționate în experimente științifice și aplicații inginerești. De exemplu, aceste 128 de eșantioane ar fi putut fi obținute prin eșantionarea unor parametri la intervale regulate de timp. Eșantionul 0 este distinct și separat de eșantionul 127 deoarece au fost achiziționate la momente diferite. Din modul în care a fost format acest semnal, nu există niciun motiv să credem că eșantioanele din stânga semnalului sunt chiar legate de eșantioanele din dreapta.

Din păcate, DFT nu vede lucrurile în acest fel. După cum se arată în figura inferioară, DFT consideră aceste 128 de puncte ca fiind o singură perioadă a unui semnal periodic infinit de lung. Aceasta înseamnă că partea stângă a semnalului achiziționat este conectată la partea dreaptă a unui semnal duplicat. De asemenea, partea dreaptă a semnalului achiziționat este conectată la partea stângă a unei perioade identice. Acest lucru poate fi considerat, de asemenea, ca fiind partea dreaptă a semnalului achiziționat înfășurat în jurul și conectat la partea sa stângă. În această privință, eșantionul 127 apare urmând eșantionului 0, la fel cum eșantionul 43 apare lângă eșantionul 44. Aceasta se referă ca fiind circulară și este identică cu vederea semnalului ca fiind periodic.

Cea mai gravă consecință a acestei periodicități este aliasingul din domeniul timp. Pentru a ilustra acest lucru, să presupunem că luăm un semnal din domeniu timp și îl trecem prin DFT pentru a găsi spectrul său de frecvență. Am putea trece imediat acest spectru de frecvență printr-o DFT Inversă pentru a reconstrui semnalul inițial din domeniul timp, însă întreaga procedură nu ar fi foarte interesantă. În schimb, vom modifica spectrul de frecvență într-o anumită manieră înainte de a utiliza DFT Inversă. De exemplu, frecvențele selectate pot fi șterse, modificate în amplitudine sau în fază, deplasate în jurul acestora etc. Acestea sunt tipuri de lucruri efectuate în mod obișnuit în DSP. Din păcate, aceste schimbări în domeniul frecvență pot crea un semnal din domeniu timp care este prea lung pentru a se potrivi într-o singură perioadă. Aceasta forțează semnalul să se reverse de la o perioadă către perioadele adiacente. Atunci când domeniul timp este privit ca fiind circular, porțiunile semnalului care depășesc din dreapta par să reapară brusc în partea stângă a semnalului și invers. Adică, porțiunile de pătrundere ale semnalului se dedublează ele însele la o nouă locație în domeniul timp. Dacă această nouă locație se întâmplă deja să conțină un semnal existent, se adaugă întreaga încurcătură, rezultând o pierdere de informații. Convoluția circulară care rezultă din înmulțirea în domeniul frecvență (discutată în Capitolul 9) este un exemplu excelent al acestui tip de dedublare.

Figura 10-8 Periodicitatea semnalului din domeniul timp al DFT.
Domeniul timp poate fi văzut ca N eșantioane în lungime, arătat în figură sus, sau ca un semnal periodic infinit de lung, arătat în figură jos.

Periodicitatea în domeniul frecvență se comportă în același mod, dar este mult mai complicată. Figura 10-9 prezintă un exemplu. Figurile superioare arată magnitudinea și faza spectrului de frecvențe, considerate a fi compuse din N/2 +1 eșantioane răspândite între 0 și 0,5 din rata de eșantionare. Acesta este cel mai simplu mod de vizualizare a spectrului de frecvențe, dar nu explică multe dintre proprietățile DFT.

Cele două figuri inferioare arată modul în care DFT vede acest spectru de frecvență ca fiind periodic. Caracteristica cheie este că spectrul de frecvență cuprins între 0 și 0,5 pare să aibă o imagine în oglindă a frecvențelor care se desfășoară între 0 și -0,5. Această imagine în oglindă a frecvențelor negative este ușor diferită pentru semnalele de magnitudine și de fază. În magnitudine, semnalul este inversat din stânga-dreapta. În fază, semnalul este inversat din stânga-dreapta, și schimbat în semn. După cum vă amintiți, aceste două tipuri de simetrie sunt nume date: magnitudinea se spune că este un semnal even (are simetrie pară), în timp ce faza se spune că este un semnal odd (are simetrie impară). Dacă spectrul de frecvență este convertit în părți reală și imaginară, partea reală va fi întotdeauna pară, în timp ce partea imaginară va fi întotdeauna impară.

Luând în considerare aceste frecvențe negative, DFT vede domeniul frecvență ca periodic, cu o perioadă de 1,0 ori rata de eșantionare, cum ar fi -0,5 până la 0,5 sau 0 până la 1,0. În ceea ce privește numărul de eșantioane, aceasta face lungimea perioadei domeniului frecvență să fie egală cu N, la fel ca în domeniul timp.

Periodicitatea domeniului frecvență îl face susceptibil la dedublarea (aliasing) domeniului frecvență, complet analogă cu dedublarea domeniului timp descrisă anterior. Imaginați-vă un semnal din domeniu timp care corespunde unui anumit spectru de frecvență. Dacă semnalul din domeniul timp este modificat, este evident că spectrul de frecvență va fi, de asemenea, schimbat. Dacă spectrul de frecvență modificat nu se poate încadra în spațiul furnizat, acesta va fi împins în perioadele adiacente. La fel ca înainte, această aliasing produce două probleme: frecvențele nu sunt acolo unde ar trebui să fie, și frecvențele suprapuse din diferite perioade se adaugă, distrugând informația.

Aliasingul domeniului frecvență este mai greu de înțeles decât aliasingul domeniului timp, deoarece modelul periodic este mai complicat în domeniul frecvență. Luați în considerare o singură frecvență care este forțată să se mute de la 0,01 la 0,49 în domeniul frecvență. Frecvența negativă corespunzătoare se mută, prin urmare, de la -0,01 la -0,49. Când frecvența pozitivă se mută peste bariera 0,5, frecvența negativă este împinsă peste bariera -0,5. Deoarece domeniul frecvență este periodic, aceste aceleași evenimente apar în celelalte perioade, cum ar fi între 0,5 și 1,5. O clonă a frecvenței pozitive traversează frecvența 1,5 de la stânga la dreapta, în timp ce o clonă a frecvenței negative traversează 0,5 de la dreapta la stânga. Acum imaginați-vă cum arată acest lucru dacă puteți vedea numai banda de frecvențe de la 0 la 0,5. Se pare că o frecvență care iese din dreapta, reapare în dreapta, dar se mișcă în direcția opusă.

Figura 10-9 Periodicitatea domeniului frecvență a DFT.

Domeniul de frecvență poate fi văzut ca rulând de la 0 la 0,5 din rata de eșantionare (două figuri de sus), sau un semnal periodic infinit de lung cu fiecare alt segment de la 0 la 0,5 inversat stânga-dreapta (cele două figuri de jos).

Figura 10-10 ilustrează modul în care apare aliasing în domeniile timp și frecvență atunci când este văzută doar o singură perioadă. După cum se arată în (a), dacă un capăt al unui semnal din domeniu timp este prea lung pentru a se încadra într-o singură perioadă, capătul proeminent va fi tăiat și lipit pe cealaltă parte. În comparație, (b) arată că atunci când un semnal din domeniu frecvență depășește perioada, capătul proeminent este pliat peste. Indiferent de locul în care se termină segmentul alias, se adaugă la orice semnal care există deja, distrugând informația.

Să aruncăm o privire mai atentă la aceste lucruri ciudate numite frecvențe negative. Sunt doar niște artefacte bizare ale matematicii sau au o semnificație reală a lumii? Figura 10-11 arată ce reprezintă. Figura (a) este un semnal discret compus din 32 de eșantioane. Imaginați-vă că vi se dă sarcina de a găsi spectrul de frecvențe care corespunde acestor 32 de puncte. Pentru a vă ușura munca, vi se spune că aceste puncte reprezintă un undă cosinus discretă. Cu alte cuvinte, trebuie să găsiți frecvența și defazajul (f și θ) astfel încât x[n] = cos(2πnf/N + θ) să se potrivească cu eșantioanele date. Nu cu mult timp înainte de a veni cu soluția prezentată în (b), adică f = 3 și θ = -π/4.

Dacă v-ați oprit analiza în acest moment, primiți doar 1/3 credit pentru această problemă. Aceasta deoarece există alte două soluții pe care le-ați pierdut. După cum se arată în (c), a doua soluție este f = -3 și θ = π/4. Chiar dacă ideea unei frecvențe negative vă ofensează sensibilitatea, nu schimbă faptul că este o soluție validă matematic pentru problema definită. Fiecare sinusoidă cu frecvență pozitivă poate fi exprimată alternativ ca o sinusoidă de frecvență negativă. Aceasta se aplică atât semnalelor continue, cât și discrete.

Figura 10-10 Exemple de dedublare (aliasing) în domeniile timp și frecvență, când este considerată o singură perioadă.
În domeniul timp, arătat în (a), porțiuni ale semnalului care există la dreapta, reapar la stânga.
În domeniul frecvență, porțiuni ale semnalului care există la dreapta, reapar la dreapta ca și cum ar fi pliate peste.