Filtrele recursive sofisticate sunt de obicei proiectate în etaje pentru a simplifica algebra obositoare a domeniului-z. Figura 33-4 ilustrează cele două moduri comune prin care etajele individuale pot fi aranjate: etaje în cascadă și etaje paralele cu ieșiri adunate. De exemplu, un etaj low-pass și unul high-pass pot fi în cascadă pentru a forma un filtru band-pass. De asemenea, o combinație paralelă de etaje low-pass și high-pass poate forma un filtru band-reject. Vom numi cele două etaje combinate sistemul 1 și sistemul 2, coeficienții lor recursivi fiind numiți: ao, a1, a2, b1, b2, și Ao, A1, A2, B1, B2, respectiv. Scopul nostru este să combinăm aceste etaje (în cascadă sau paralel) într-un singur filtru recursiv, pe care îl vom numi sistemul 3, cu coeficienți recursivi dati de: ao, a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4.

După cum vă amintiți din capitolele anterioare, răspunsurile în frecvență ale sistemelor în cascadă sunt combinate prin înmulțire. De asemenea, răspunsurile în frecvență ale sistemelor în paralel sunt combinate prin adunare. Aceste aceleași reguli sunt urmate de funcțiile de transfer al domeniului-z. Aceasta permite combinarea sistemelor recursive prin mutarea problemei în domeniul-z, realizând înmulțirea sau adunarea necesară, și apoi revenind la coeficienții recursivi ai sistemului final.

Ca un exemplu al acestei metode, vom elabora algebra pentru combinarea a două etaje biquad într-o cascadă. Funcția de transfer a fiecărui etaj se găsește scriind Ec. 33-3 folosind coeficienții recursivi adecvați. Funcția de transfer a întregului sistem, H[z], este apoi găsită prin înmulțirea funcțiilor de transfer ale celor două etaje:

Înmulțirea polinoamelor și colectarea unor termeni similari:

Întrucât acest lucru este în forma ec. 33-3, putem extrage direct coeficienții recursivi care implementează sistemul în cascadă:

Problema evidentă cu această tehnică este cantitatea mare de algebră necesară pentru a înmulți și rearanja termenii polinomiali. Din fericire, întregul algoritm poate fi exprimat într-un scurt program de calculator, prezentat în tabelul 33-1. Deși combinațiile în cascadă și paralel necesită matematici diferite, ele folosesc aproape același program. În particular, o singură linie de cod este diferită între cei doi algoritmi, permițând ambelor să fie combinate într-un singur program.

TABEL 33-1 Combinarea etajelor în cascadă și paralel.
Acest program combină coeficienții de recurență a etajelor în cascadă sau paralel. Coeficienții recursivi pentru cele două etaje combinate intră în program în șirurile: A1[ ], B1[ ] și A2[ ], B2[ ]. Coeficienții recursivi care implementează întregul sistem părăsesc programul în șirurile: A3[ ], B3[ ].

Acest program operează prin schimbarea coeficienților recursivi din fiecare etaj individual în funcții de transfer de forma Ec. 33-3 (liniile 220- 270). După combinarea acestor funcții de transfer în mod corespunzător (liniile 290-380), informațiile sunt mutate înapoi pentru a fi coeficienți recursivi (liniile 400 - 430).

Inima acestui program este modul în care sunt reprezentate și combinate polinoamele funcției de transfer. De exemplu, numărătorul primului etaj combinat este: ao + a1z^-1+ a2z^{- 2}+ a3z^{- 3} .... Acest polinom este reprezentat în program prin stocarea coeficienților: ao, a1, a2, a3 ..., în șirul: A1[0], A1[1], A1[2], A1[3]... . De asemenea, numărătorul pentru al doilea etaj este reprezentat de valorile stocate în: A2[0], A2[1], A2[2], A2[3] ..., și numărătorul pentru sistemul combinat în: A3[0], A3[1], A3[2], A3[3]... Ideea este de a reprezenta și manipula polinoame doar referindu-se la coeficienții lor. Întrebarea este: cum calculăm A3[ ], având în vedere că A1[ ], A2[ ] și A3[ ] reprezintă toate polinoame? Răspunsul este că, atunci când se înmulțesc două polinoame, coeficienții lor sunt în convoluție. În formă de ecuație: A1[ ] * A2[ ] = A3[ ]. Aceasta permite unui algoritm de convoluție standard să găsească funcția de transfer a etajelor în cascadă prin convoluția celor două șiruri numărător și a celor două șiruri numitor.

Procedura de combinare a etapelor paralele este puțin mai complicată. În algebră, fracțiile sunt adunate conform cu:

Deoarece fiecare dintre funcțiile de transfer este o fracție (un polinom împărțit la un alt polinom), combinăm etajele în paralel prin înmulțirea numitorilor și adăugarea produselor încrucișate în numărători. Aceasta înseamnă că numitorul este calculat în același mod ca pentru etajele în cascadă, dar calculatorul numărătorului este mai elaborat. În linia 340, numărătorii etajelor în cascadă sunt în convoluție pentru a găsi numărătorul funcției de transfer combinate. În linia 350, numărătorul combinației de etaje paralele este calculat ca suma celor doi numărători în convoluție cu cei doi numitori. Linia 360 gestionează calcularea numitorului pentru ambele cazuri.