Figura 11-5 (a) și (b) prezintă dualitatea celor de mai sus: un impuls dreptunghiular în domeniul frecvență corespunde unei funcții sinc (plus aliasing) în domeniul timp. Incluzând efectele aliasing, semnalul din domeniul timp este dat de:

Pentru a elimina efectele aliasing-ului în această ecuație, imaginați-vă că domeniul frecvență este atât de fin eșantionat încât se transformă într-o curbă continuă. Acest lucru face domeniul timp infinit de lung, fără periodicitate. DTFT este transformatea Fourier care trebuie utilizată aici, rezultând semnalul din domeniu timp dat de relația:

Această ecuație este foarte importantă în DSP, deoarece impulsul dreptunghiular din domeniul frecvență este filtrul perfect trece-jos. Deci, funcția sinc descrisă de această ecuație este nucleul filtrului pentru filtrul trece-jos perfect. Aceasta este baza pentru o clasă foarte utilă de filtre digitale numite filtre sinc-fereastră, descrise în Capitolul 15.

Figurile (c) și (d) arată că un impuls triunghiular în domeniul timp coincide cu o funcție sinc la pătrat (plus aliasing) în domeniul frecvență. Această pereche de transformate nu este la fel de importantă ca motivul că ea este adevărată. Un triunghi de 2M- 1 puncte în domeniul timp poate fi format prin convoluția unui impuls dreptunghiular de M puncte cu el însuși. Deoarece convoluția în domeniul timp rezultă în multiplicare în domeniul frecvență, convoluția unei forme de undă cu ea însăși va ridica la pătrat spectrul de frecvențe.

Există o formă de undă care este propria sa Transformată Fourier? Răspunsul este da, și există doar una: Gaussianul. Figura (e) prezintă o curbă Gaussiană și (f) prezintă spectrul de frecvență corespunzător, de asemenea o curbă Gaussiană. Această relație este valabilă numai dacă ignorați aliasing-ul. Relația dintre abaterea standard a domeniului timp și domeniului frecvență este dată de: 2πσf = 1/σt. În timp ce doar o parte a unui Gaussian este prezentată în (f), frecvențele negative din spectru completează curba completă, cu centrul de simetrie la frecvența zero.

Figura (g) arată ce poate fi numit explozie Gaussiană. Se formează prin înmulțirea unei unde sinus cu un Gaussian. De exemplu, (g) este o undă sinus înmulțită cu același Gaussian prezentat în (e). Domeniul frecvență corespunzător este un Gaussian centrat undeva, diferit de frecvența zero. Ca și înainte, această pereche de transformate nu este la fel de importantă ca motivul că este adevărată. Deoarece semnalul din domeniu timp este multiplicarea a două semnale, domeniul frecvență va fi convoluția celor două spectre de frecvență. Spectrul de frecvență al undei sinusoi este o funcție delta centrată pe frecvența undei sinus. Spectrul de frecvență al unui Gaussian este un Gaussian centrat la frecvența zero. Convoluția celor două produce un Gaussian centrat la frecvența undei sinus. Acest lucru ar trebui să pară familiar; este identic cu procedura de modulare în amplitudine descrisă în ultimul capitol.

Figura 11-5 Perechi de transformate comune

Secțiunea următoare: Efectul Gibbs