Figura 11-6 arată un semnal din domeniu timp care este sintetizat din sinusoide. Semnalul care este reconstruit este arătat în ultimul grafic, (h). Deoarece acest semnal are o lungime de 1024 de puncte, vor fi necesare 513 frecvențe individuale pentru o reconstrucție completă. Figurile (a) până la (g) prezintă cum arată semnalul reconstruit dacă se utilizează doar câteva din aceste frecvențe. De exemplu, (f) arată un semnal reconstruit folosind frecvențele 0 până la 100. Acest semnal a fost creat prin aplicarea DFT semnalului din (h), setarea frecvențelor 101 până la 512 la o valoare zero și apoi folosirea DFT Inverse pentru a găsi semnalul din domeniu timp rezultat.

Pe măsură ce se adaugă mai multe frecvențe la reconstrucție, semnalul devine mai apropiat de soluția finală. Lucrul interesant este cum este abordată soluția finală la fronturile semnalului. Există trei fronturi ascuțite în (h). Două sunt fronturile impulsului dreptunghiular. Al treilea este între numerele de eșantion 1023 și 0, deoarece DFT vede domeniul timpl ca periodic. Atunci când doar câteva dintre frecvențe sunt utilizate în reconstrucție, fiecare front arată o depășire (overshoot) și un ringing (oscilații degradate). Aceste overshoot și ringing sunt cunoscute sub numele de efectul Gibbs, după fizicianul matematic Josiah Gibbs, care a explicat fenomenul în 1899.

Uită-te atent la overshoot în (e), (f) și (g). Deoarece se adună mai multe sinusoide, lățimea overshoot scade; totuși, amplitudinea overshoot rămâne aproximativ aceeași, aproximativ 9%. Cu semnale discrete, aceasta nu este o problemă; overshoot este eliminată când se adaugă ultima frecvență. Totuși, reconstrucția semnalelor continue nu poate fi explicată atât de ușor. Un număr infinit de sinusoide trebuie adunat pentru a sintetiza un semnal continuu. Problema este că amplitudinea overshoot nu scade, deoarece numărul sinusoidelor se apropie de infinit, rămâne aproximativ același 9%. Având în vedere această situație (și alte argumente), este rezonabil să ne întrebăm dacă o însumare a sinusoidelor continue poate reconstrui un front. Vă amintiți disputa dintre Lagrange și Fourier?

Factorul critic în rezolvarea acestui puzzle este că lățimea overshoot devine mai mică pe măsură ce sunt incluse mai multe sinusoide. Overshoot este încă prezentă cu un număr infinit de sinusoide, dar are o lățime zero. Exact la discontinuitate, valoarea semnalului reconstruit converge la punctul central al treptei. Așa cum arată Gibbs, însumarea converge la semnal în sensul că eroarea dintre cele două are energie zero.

Problemele legate de efectul Gibbs sunt întâlnite frecvent în DSP. De exemplu, un filtru trece-jos este o trunchiere a frecvențelor mai înalte, rezultând în overshoot și ringing la fronturi în domeniul timp. O altă procedură comună este trunchierea capetelor unui semnal din domeniu timp pentru a împiedica extinderea acestora în perioade învecinate. Prin dualitate, acest lucru distorsionează fronturile din domeniul frecvență. Aceste probleme se vor relua în capitolele viitoare privind proiectarea filtrelor.

Figura 11-6 Efectul Gibbs.

Secțiunea următoare: Armonice