Pentru a face acest lucru mai puțin abstract, vom folosi valorile efective ale componentelor pentru filtrul notch pe care tocmai l-am analizat: R = 220 Ω, L = 54 μH, C = 470pF. Introducând aceste valori în ecuațiile de mai sus, se plasează poli și zerouri la:

Aceste poziții de pol și zero sunt prezentate în Fig. 32-7. Fiecare zero este reprezentat de un cerc, în timp ce fiecare pol este reprezentat de o cruciuliță. Aceasta se numește diagrama pol-zero și este cea mai comună modalitate de afișare a datelor din domeniul-s. Figura 32-7 arată și o afișare topografică a planului-s. Pentru simplitate, este prezentată doar magnitudinea, dar nu uitați că există o fază corespunzătoare. La fel cum munții și văile determină forma suprafeței pământului, polii și zerouri determină forma planului-s. Spre deosebire de munți și văi, fiecare pol și zero are exact aceeași formă și dimensiune ca orice alt pol și zero. Singura caracteristică unică a unui pol sau zero este locația sa. Polii și zerourile sunt importante, deoarece oferă o reprezentare concisă a valorii în orice punct al planului-s. Adică, putem descrie complet caracteristicile sistemului folosind doar câțiva parametri . În cazul filtrului notch RLC, trebuie doar să specificăm patru parametri complexi pentru a reprezenta sistemul: z1, z2, p1, p2 (fiecare format dintr-o parte reală și o imagine imaginară).

Pentru a înțelege mai bine polii și zerourile, imaginați-vă o furnică care se târăște în jurul planului-s. În orice locație particulară se întâmplă să fie furnica (adică, o anumită valoare a lui s), există o valoare corespunzătoare a funcției de transfer, H(s). Această valoare este un număr complex care poate fi exprimat ca magnitudine și fază sau ca părți reală și imaginară. Acum, furnica să ne ducă la unul dintre zerourile din planul-s. Valoarea pe care o măsurăm pentru părțile reală și imaginară va fi zero în această locație. Acest lucru poate fi înțeles prin examinarea ecuației matematice pentru H(s) din Ec. 32-3. Dacă locația, s, este egală cu oricare dintre zerouri, unul dintre termenii din numărător va fi zero. Aceasta face ca întreaga expresie să fie egală cu zero, indiferent de celelalte valori.

Apoi, furnica noastră ne duce către unul dintre poli, unde măsurăm din nou valoarea părților reală și imaginară ale lui H(s). Valoarea măsurată devine din ce în ce mai mare pe măsură ce ne apropiem de locația exactă a polului (de unde și numele). Acest lucru poate fi înțeles și din Ec. 32-3. Dacă locația, s, este egală cu oricare dintre p, numitorul va fi egal cu zero și împărțirea cu zero face ca întreaga expresie să fie infinit de mare.

După ce am explorat locațiile unice, furnica noastră se deplasează acum la întâmplare în tot planul-s. Valoarea lui H(s) la fiecare locație depinde în totalitate de poziționarea polilor și a zerourilor, deoarece nu există alte tipuri de caracteristici permise în acest teren ciudat. Dacă ne aflăm în apropierea unui pol, valoarea va fi mare; dacă suntem aproape de zero, valoarea va fi mică.

Ecuația 32-3 descrie, de asemenea, cum mai mulți poli și zerouri interacționează pentru a forma semnalul din domeniul-s. Nu uitați, scăderea a două numere complexe oferă distanța dintre ele în planul complex. De exemplu, (s - zo) este distanța dintre locația arbitrară, s și zeroul situat la zo. Prin urmare, Ec. 32-3 spune că valoarea la fiecare locație, s, este egală cu distanțele față de toate zerourile înmulțite, împărțită la distanțele până la toți polii înmulțite.

Acest lucru ne aduce în centrul acestui capitol: modul în care locația polilor și zerourilor oferă o înțelegere mai profundă a răspunsului în frecvență al sistemului. Răspunsul în frecvență este egal cu valorile lui H(s) de-a lungul axei imaginare, semnificate de linia întunecată în graficul topografic din fig. 32-7. Imaginează-ți furnica pornind de la origine și târându-se pe această cale. În apropiere de origine, distanța până la zerouri este aproximativ egală cu distanța față de poli. Aceasta face numărătorul și numitorul în ec. 32-3 egale, oferind un răspuns în frecvență unitate la frecvențe joase. Situația nu se schimbă semnificativ până când furnica nu se mișcă în apropierea locației polului și zeroului. Când se apropie de zero, valoarea lui H(s) scade brusc, devenind zero atunci când furnica este deasupra zeroului. Pe măsură ce furnica trece prin perechea pol și zero, valoarea lui H(s) revine din nou la unitate. Folosind acest tip de vizualizare, se poate observa că lățimea crestăturii (notch) depinde de distanța dintre pol și zero.

FIGURA 32-8 Strategia de utilizare a transformatei Laplace.
Transformarea fazorială prezentată la capitolul 30 (metoda folosind R, jωL, & -j/ωC) permite calcularea directă a răspunsului în frecvență din parametrii sistemului fizic. În comparație, transformata Laplace calculează o reprezentare a domeniului-s din sistemul fizic, de obicei afișată sub forma unei diagrame pol-zero. La rândul său, răspunsul în frecvență poate fi obținut din domeniul-s, prin evaluarea funcției de transfer de-a lungul axei imaginare. În timp ce ambele metode furnizează același rezultat final, etapa intermediară a domeniului-s oferă o perspectivă de ce răspunsul în frecvență se comportă așa cum se întâmplă.

Figura 32-8 rezumă modul în care este utilizată transformata Laplace. Începem cu un sistem fizic, cum ar fi un circuit electric. Dacă dorim, transformarea fazorială poate furniza în mod direct răspunsul în frecvență al sistemului, așa cum este descris în Capitolul 30. O alternativă este să se aplice transformata Laplace folosind metoda în patru pași prezentată anterior. Rezultă o expresie matematică pentru funcția de transfer, H(s), care poate fi reprezentată într-o diagramă pol-zero. Răspunsul în frecvență poate fi apoi găsit prin evaluarea funcției de transfer de-a lungul axei imaginare, adică prin înlocuirea fiecărui s cu jω. În timp ce ambele metode oferă același rezultat, diagrama intermediară pol-zero oferă o înțelegere a motivului pentru care sistemul se comportă așa cum face, și cum poate fi schimbat.