Cea mai puternică aplicație a transformatei Laplace este proiectarea sistemelor direct în domeniul-s. Aceasta implică doi pași: Primul, domeniul-s este proiectat prin specificarea numărului și a locației polilor și a zerourilor. Aceasta este o problemă pur matematică, cu scopul de a obține cel mai bun răspuns în frecvență. În al doilea pas, este calculat un circuit electronic care oferă această reprezentare a domeniului-s. Aceasta este o artă, deoarece există multe configurații de circuit care au o diagramă pol-zero dată.

După cum am menționat anterior, pasul 4 al metodei transformatei Laplace este foarte dificil dacă sistemul conține mai mult de doi poli sau două zerouri. O soluție comună este implementarea mai multor poli și zerouri în etaje succesive. De exemplu, un filtru cu 6 poli este implementat ca trei etaje succesive, fiecare etaj conținând până la doi poli și două zerouri. Deoarece fiecare dintre aceste etaje poate fi reprezentat în domeniul-s printr-un numărător cuadratic împărțit la un numitor quadratic, această abordare se numește proiectare cu biquad-uri.

Figura 32-9 prezintă un circuit comun biquad, cel utilizat în metoda de proiectare a filtrului din capitolul 3. Acesta se numește circuit Sallen-Key, după R.P. Sallen și E.L. Key, autori ai unei lucrări care au descris această tehnică la mijlocul anilor 1950. Deși există mai multe variații, cel mai obișnuit circuit folosește două rezistoare de valoare egală, două condensatoare cu valoare egală și un amplificator cu o amplificare între 1 și 3. Deși nedisponibile pentru Sallen și Key, amplificatoarele pot fi acum realizate cu amplificatoare operaționale low-cost cu rezistoare de feedback adecvate. Parcurgând procedura de analiză a circuitului în patru pași, locația celor doi poli ai acestui circuit poate fi legată de valorile componentelor:

Aceste ecuații arată că cei doi poli se află întotdeauna undeva pe un cerc de rază: 1/RC. Poziția exactă de-a lungul cercului depinde de câștigul amplificatorului. După cum se arată în (a), o amplificare de 1 plasează ambii poli pe axa reală. Răspunsul în frecvență al acestei configurații este un filtru low-pass, cu o tranziție relativ lină între passband și stopband. Frecvența cutoff la -3dB (0,707) a acestui circuit, notată cu ωo, este locul în care cercul intersectează axa imaginară, adică ωo = 1/IRC.

Pe măsură ce amplificarea este crescută, polii se mișcă de-a lungul cercului, cu o modificare corespunzătoare a răspunsului în frecvență. Așa cum se arată în (b), o amplificare de 1,586 plasează polii la unghi de 45 de grade, ceea ce duce la răspunsul în frecvență cu o tranziție mai accentuată. Creșterea amplificării în continuare mută polii și mai aproape de axa imaginară, rezultând răspunsul în frecvență ca o curbă la apogeu. Această condiție este ilustrată în litera (c), unde amplificarea este setată la 2,5. Amplitudinea vârfului continuă să crească pe măsură ce amplificarea este crescută, până când se atinge un câștig de 3. După cum se arată în (d), acesta este un caz special care plasează polii direct pe axa imaginară. Răspunsul în frecvență corespunzător are acum o valoare infinit de mare la vârf. În termeni practici, acest lucru înseamnă că circuitul s-a transformat într-un oscilator. Creșterea câștigului în continuare împinge polii mai adânc în jumătatea dreaptă a planului-s. După cum am menționat anterior, aceasta corespunde sistemului instabil (oscilație spontană).

Folosind circuitul Sallen-Key ca bloc de bază, se poate construi o mare varietate de tipuri de filtre. De exemplu, un filtru trece-jos Butterworth este proiectat prin plasarea unui număr selectat de poli egali în jurul jumătății stângi a cercului, așa cum se arată în Fig. 32-10. Fiecare doi poli din această configurație necesită un etaj Sallen-Key. După cum este descris în capitolul 3, filtrul Butterworth este maxim plat; adică are cea mai accentuată tranziție între banda de trecere și banda de oprire fără vârf în răspunsul în frecvență. Cu cât sunt mai mulți poli, cu atât tranziția este mai rapidă. Deoarece toți polii din filtrul Butterworth se află pe același cerc, toate etajele în cascadă folosesc aceleași valori pentru R și C. Singurul lucru diferit între etaje este amplificarea. De ce acest model circular de poli oferă răspunsul optim plat? Nu căutați un răspuns evident sau intuitiv la această întrebare; apare doar din matematică.

Figura 32-11 arată cum pozițiile polilor filtrului Butterworth pot fi modificate pentru a produce filtrul Chebyshev. Așa cum s-a discutat în capitolul 3, filtrul Chebyshev realizează o tranziție mai ascuțită decât Butterworth, în detrimentul ondulării (ripple) permise în banda de trecere. În domeniul-s, acest lucru corespunde cercului de poli care este aplatizat într-o elipsă. Cu cât elipsa este mai aplatizată, cu atât ondulația este mai mare și tranziția este mai ascuțită. Când este format dintr-o cascadă de etaje Sallen-Key, aceasta necesită valori diferite ale rezistențelor și condensatorilor în fiecare etaj.

Figura 32-11 arată, de asemenea, următorul nivel de sofisticare în strategia de proiectare a filtrelor: filtrul eliptic. Filtrul eliptic realizează cea mai ascuțită tranziție posibilă, permițând ondularea atât în banda de trecere cât și în banda de oprire. În domeniul-s, acest lucru corespunde plasării zerourilor pe axa imaginară, cu primul aproape de frecvența cutoff. Filtrele eliptice vin în mai multe varietăți și sunt semnificativ mai dificil de proiectat decât configurațiile Butterworth și Chebyshev. Acest lucru se datorează faptului că polii și zerourile filtrului eliptic nu se află într-un model geometric simplu, ci într-un aranjament matematic care implică funcții eliptice și integrale (de aici și numele).

Deoarece fiecare biquad produce doi poli, se pot construi filtre de ordin par (2 poli, 4 poli, 6 poli, etc.) prin legarea în cascadă a etajelor de biquad. Dar, filtrele de ordin impar (1 pol, 3 poli, 5 poli, etc.) necesită ceva pe care biquad-ul nu îl poate oferi: un singur pol pe axa reală. Acesta se dovedește a nu fi altceva decât un simplu circuit RC adăugat cascadei. De exemplu, un filtru de 9 poli poate fi construit din 5 etaje: 4 biquad-uri Sallen-Key, plus un etaj constând dintr-un singur condensator și rezistor.

Aceste modele clasice pol-zero sunt pentru filtre low-pass; dar, ele pot fi modificate pentru alte răspunsuri în frecvență. Acest lucru se realizează prin proiectarea unui filtru low-pass și apoi efectuarea unei transformări matematice în domeniul-s. Începem prin a calcula locațiile polului filtrului low-pass și apoi scriem funcția de transfer, H(s), sub forma ec. 32-3. Funcția de transfer a filtrul high-pass corespunzător este găsită prin înlocuirea fiecăreui „s” cu „1/s”, iar apoi reorganizarea expresiei pentru a fi din nou în forma pol-zero a ec. 32-3. Aceasta definește noi locații pol și zero care implementează filtrul high-pass. Transformările mai complicate ale domeniului-s pot crea filtre de tip band-pass și band-reject dintr-un proiect inițial low-pass. Acest tip de manipulare matematică în domeniul-s este tema centrală a proiectării filtrelor și cărți întregi sunt dedicate subiectului. Proiectarea filtrului analogic este 90% matematică și doar 10% electronică.

Din fericire, proiectarea filtrelor high-pass folosind etajele Sallen-Key nu necesită această manipulare matematică. Înlocuirea „1/s“ pentru „s“ în domeniul-s corespunde interschimbării rezistoarelor și condensatoarelor în circuit. În planul-s, acest schimb plasează polii într-o poziție nouă și adaugă două zerouri direct la origine. Aceasta are ca rezultat răspunsul în frecvență având o valoare de zero la DC (frecvență zero), exact așa cum vă așteptați pentru un filtru high-pass. Acest lucru aduce circuitul Sallen-Key la potențialul său maxim: implementarea a doi poli și a două zerouri.