O problemă de bază în imagistica cu raze X (sau alte radiații penetrante) este că se obține o imagine bi-dimensională a unui obiect tri-dimensional. Aceasta înseamnă că structurile se pot suprapune în imaginea finală, chiar dacă ele sunt complet separate în obiect. Acest lucru este deosebit de dificil în diagnosticul medical unde există multe structuri anatomice care pot interfera cu ceea ce medicul încearcă să vadă. În anii 1930, această problemă a fost atacată prin mișcarea sursei de raze X și a detectorului într-o mișcare coordonată în timpul formării imaginii. Din geometria acestei mișcări, un singur plan în interiorul pacientului rămâne focalizat, în timp ce structurile din afara acestui plan devin neclare. Acest lucru este similar cu o cameră focalizată pe un obiect la 5 picioare, în timp ce obiectele la o distanță de 1 și 50 de picioare sunt neclare. Aceste tehnici conexe bazate pe neclaritatea mișcării sunt acum denumite în mod colectiv tomografie clasică. Cuvântul tomografie înseamnă "o imagine a unui plan".

În ciuda faptului că este bine dezvoltată de mai bine de 50 de ani, tomografia clasică este rar utilizată. Acest lucru se datorează faptului că are o limitare semnificativă: obiectele interferante nu sunt îndepărtate din imagine, ci doar blurate. Calitatea rezultată a imaginii este de obicei prea slabă pentru a fi folosită în mod practic. Soluția căutată de mult timp a fost un sistem care ar putea crea o imagine reprezentând o felie 2D printr-un obiect 3D fără interferențe din alte structuri din obiectul 3D.

Această problemă a fost rezolvată la începutul anilor 1970 prin introducerea unei tehnici numite tomografie computerizată (CT). CT a revoluționat domeniul radiologic medical cu capacitatea sa fără precedent de a vizualiza structura anatomică a corpului. Figura 25-13 prezintă o imagine CT tipică medicală. Tomografia computerizată a fost inițial introdusă pe piață sub denumirea de tomografie computerizată axială și scaner CAT. Acești termeni sunt acum dezaprobați în domeniul medical, deși îi auziți folosiți frecvent de publicul larg.

Figura 25-14 ilustrează o geometrie simplă pentru obținerea unei felii CT prin centrul capului. Un fscicul îngust de raze X este trecut de la sursa de raze X la detectorul de raze X. Aceasta înseamnă că valoarea măsurată la detector este legată de cantitatea totală de material plasată oriunde de-a lungul căii fasciculului. Materiale precum osul și dinții blochează mai multe raze X, ducând la un semnal mai scăzut în comparație cu țesutul moale și grăsimi. Așa cum se arată în ilustrație, ansamblurile sursă și detector sunt translatate pentru a obține o vedere (jargon CT) la acest unghi particular. În timp ce această figură arată numai o singură vedere dobândită, o scanare CT completă necesită 300 până la 1000 de vederi luate la incremente de rotație de aproximativ 0,3° până la 1,0°. Acest lucru se realizează prin montarea sursei de raze X și a detectorului pe o platformă rotativă care înconjoară pacientul. O caracteristică-cheie a achiziției datelor CT este că razele X trec numai prin felia de corp examinată. Acest lucru este diferit de tomografia clasică în care razele X parcurg structurile pe care încercați să le suprimați în imaginea finală. Tomografia computerizată nu permite informațiilor din locații irelevante să poată intra în datele achiziționate.

Câteva pași de preprocesare sunt de obicei necesare înainte ca reconstrucția imaginii să poată avea loc. De exemplu, trebuie luat logaritmul fiecărei măsurători cu raze X. Aceasta se datorează faptului că razele X scad exponențial în intensitate, pe măsură ce trec prin material. Aplicarea logaritmului furnizează un semnal care este linear legat de caracteristicile materialului care se măsoară. Alți pași de preprocesare sunt utilizați pentru a compensa utilizarea unor raze-X policrome (mai mult de o singură energie) și a detectoarelor multielement (spre deosebire de elementul singur prezentat în Fig. 25-14). Deși acestea reprezintă un pas cheie în tehnica generală, ele nu sunt legate de algoritmii de reconstrucție și nu le vom mai discuta.

Figura 25-15 ilustrează relația dintre vederile măsurate și imaginea corespunzătoare. Fiecare probă obținută într-un sistem CT este egală cu suma valorilor imaginii de-a lungul unei raze care indică acea probă. De exemplu, vederea 1 este găsită prin adăugarea tuturor pixelilor din fiecare rând. De asemenea, vederea 3 se găsește adăugând toți pixelii din fiecare coloană. Celelalte vederi, cum ar fi vederea 2, însumează pixelii de-a lungul razelor care se află sub un unghi.

Există patru abordări principale pentru calcularea imaginii felie în funcție de setul de vederi. Acestea se numesc algoritmi de reconstrucție CT. Prima metodă este total nepractică, dar oferă o mai bună înțelegere a problemei. Se bazează pe rezolvarea multor ecuații liniare simultane. O ecuație poate fi scrisă pentru fiecare măsurătoare. Adică, un eșantion particular dintr-un anumit profil este suma unui anumit grup de pixeli din imagine. Pentru a calcula variabile necunoscute (adică, valorile pixelilor imaginii), trebuie să existe ecuații independente, și deci N² măsurători. Majoritatea scanerelor CT achiziționează aproximativ 50% mai multe eșantioane decât cele rigid necesare acestei analize. De exemplu, pentru a reconstrui o imagine de 512 × 512, un sistem poate lua 700 de vederi cu 600 de eșantioane în fiecare vedere. Făcând problema supradeterminată în acest mod, imaginea finală a redus zgomot și artefacte. Problema cu această primă metodă de reconstrucție CT este timpul de calcul. Rezolvarea a câteva sute de mii de ecuații liniare simultan este o sarcină descurajantă.

A doua metodă de reconstrucție CT utilizează tehnici iterative pentru a calcula imaginea finală în pași mici. Există mai multe variante ale acestei metode: Tehnica de Reconstrucție Algebrică (ART), Tehnica de Reconstrucție Iterativă Simultană (SIRT) și Tehnica Iterativă a celor mai mici pătrate (ILST). Diferența dintre aceste metode este modul în care sunt efectuate corecțiile succesive: rază-cu-rază, pixel-cu-pixel sau corectarea simultană a întregului set de date. Ca un exemplu al acestor tehnici, ne vom uita la ART.

Figura 25-15 Vederi CT.

Tomografia computerizată achiziționează un set de vederi și apoi reconstruiește imaginea corespunzătoare. Fiecare eșantion dintr-o vedere este egal cu suma valorilor de imagine dealungul razei care punctează la acel eșantion. În acest exemplu, imaginea este o mică pillbox înconjurată de zerouri. În timp ce sunt arătate aici numai trei vederi, o scanare CT tipică utilizează sute de vederi la unghiuri ușor diferite.

Pentru a porni algoritmul ART, toți pixelii din șirul imaginii sunt setați la o valoare arbitrară. O procedură iterativă este apoi utilizată pentru a schimba treptat șirul imaginii pentru a corespunde profilurilor. Un ciclu de iterație constă în trecerea prin fiecare punct de date măsurat. Pentru fiecare valoare măsurată, se pune următoarea întrebare: cum pot fi modificate valorile pixelilor din șir pentru a fi compatibile cu această măsurătoare particulară? Cu alte cuvinte, eșantionul măsurat este comparat cu suma pixelilor de imagine de-a lungul razei care indică eșantionul. Dacă suma razei este mai mică decât eșantionul măsurat, toți pixelii de-a lungul razei sunt măriți în valoare. De asemenea, dacă suma razei este mai mare decât eșantionul măsurat, toate valorile pixelilor de-a lungul razei sunt scăzute. După primul ciclu complet de iterație, va exista încă o eroare între sumele razei și valorile măsurate. Acest lucru se datorează faptului că modificările aduse pentru orice o măsurătoare întrerup toate corecțiile efectuate anterior. Ideea este că erorile devin mai mici cu iterații repetate până când imaginea converge la soluția potrivită.

Tehnicile iterative sunt, în general, lente, dar sunt utile atunci când algoritmi mai buni nu sunt disponibili. De fapt, ART a fost utilizat în primul scaner medical comercial CT lansat în 1972, EMI Mark I. Vom revizui tehnicile iterative în următorul capitol privind rețelele neuronale. Dezvoltarea metodei a treia și a patra a înlocuit aproape integral tehnicile iterative în produsele comerciale CT.

Figura 25-5 Backprojection.

Backprojection reconstruiește o imagine prin luarea fiecărei vederi și acoperirea ei de-a lungul căii de unde a fost achiziționată original. Imaginea rezultată este o versiune neclară a imaginii corecte.

Ultimii doi algoritmi de reconstrucție se bazează pe soluții matematice formale ale problemei. Acestea sunt exemple elegante de DSP. A treia metodă este denumită backprojection filtrat. Este o modificare a unei vechi tehnici, numită backprojection sau simple backprojection. Figura 25-16 arată că o simple backprojection este o abordare de detectare comună, dar foarte nesofisticată. Un eșantion individual este retroprojectat prin setarea tuturor pixelilor de imagine de-a lungul razei care indică eșantionul la aceeași valoare. În termeni mai puțini tehnici, un backprojection este format prin pătarea fiecare vederi înapoi prin imaginea în direcția în care a fost achiziționată inițial. Imaginea finală retroproiectată este luată apoi ca sumă a tuturor vederilor retroproiectate.

În timp ce backprojection este simplă conceptual, aceasta nu rezolvă corect problema. Așa cum se arată în (b), o imagine retroproiectată este foarte neclară. Un singur punct în imaginea adevărată este reconstruit ca o regiune circulară care scade în intensitate departe de centru. În termeni mai formali, funcția de răspândire a punctului de backprojection este simetrică circular și scade cu inversa razei sale.

Backprojection filtrată este o tehnică pentru a corecta neclaritatea întâlnită în simple backprojection. Așa cum este ilustrat în Fig. 25-17, fiecare vedere este filtrată înainte de backprojection pentru a contracara PSF neclară. Adică, fiecare vedere unidimensională este în convoluție cu un kernel filtru unidimensional pentru a crea un set de vederi filtrate. Aceste vedeări filtrate sunt apoi retroproiectate pentru a furniza imaginea reconstruită, o aproximzre apropiată de imaginea "corectă". De fapt, imaginea produsă prin backprojection filtrată este identică cu imaginea "corectă" atunci când există un număr infinit de vederi și un număr infinit de puncte per vedere.

Figura 25-17 Backprojection filtrată.

Backprojection filtrată reconstruiește o imagine prin filtrarea fiecărei vederi înainte de backprojection. Aceasta elimină ce se vede neclar în simple backprojection, și rezultă într-o reconstrucție matematică exactă a imaginii. Backprojection filtrată este cel mai comun algoritm utilizat pentru sisteme de tomografie computerizată.

Nucleul de filtrare folosit în această tehnică va fi discutat în scurt timp. Pentru moment, observați cum au fost modificate profilurile de către filtru. Imaginea din acest exemplu este un cerc alb uniform, înconjurat de un fundal negru (un pillbox). Fiecare dintre vederile achiziționate are un fundal plat cu o regiune rotunjită reprezentând cercul alb. Filtrarea modifică vederile în două moduri semnificative. Mai întâi, vârful impulsului este făcut plat, rezultând la final backproiection, creând un nivel uniform al semnalului în cerc. În al doilea rând, vârfurile negative au fost introduse pe laturile pulsului. Când sunt retroproiectate, aceste regiuni negative contracarează neclaritatea.

A patra metodă se numește reconstrucție Fourier. În domeniul spațial, reconstrucția CT implică relația dintre o imagine bi-dimensională și setul de vederi uni-dimensionale. Prin aplicarea transformatei Fourier bi-dimensionale imaginii și a transformatei Fourier uni-dimensionale fiecărei vederi, problema poate fi examinată în domeniul frecvență. După cum reiese, relația dintre o imagine și vederile ei este mult mai simplă în domeniul frecvență decât în ​​domeniul spațial. Analiza domeniului frecvență a acestei probleme este o piatră de hotar în tehnologia CT numită teorema de felie Fourier.

Figura 25-18 arată cum apare problema în ambele domenii spațial și frecvență. În domeniul spațial, fiecare vedere se găsește prin integrarea imaginii de-a lungul razelor la un anumit unghi. În domeniul frecvență, spectrul imaginii este reprezentat în această ilustrație de o rețea bi-dimensională. Spectrul fiecărei vederi (un semnal uni-dimensional) este reprezentat de o linie întunecată suprapusă peste grilă. Așa cum se arată prin poziționarea liniilor pe grilă, teorema de felie Fourier afirmă că spectrul unei vederi este identic cu valorile de-a lungul unei linii (felie) prin spectrul imaginii. Spre exemplu, spectrul vederii 1 este același cu cel al coloanei centrale a spectrului de imagine, iar spectrul vederii 3 este același cu cel al liniei centrale a spectrului imaginii. Observați că spectrul fiecărei vederi este poziționat pe grilă la același unghi la care vederea a fost inițial achiziționată. Toate aceste spectre de frecvență includ frecvențele negative și sunt afișate cu frecvența zero la centru.

Figura 25-18 Teorema Fourier Slice.

Teorema descrie relația între imagine și vederile sale în domeniul frecvență. În domeniul spațial, fiecare vedere este găsită prin integrarea imaginii de-a lungul razelor la un unghi particular. În domeniul frecvență, spectrul fiecărei vederi este o "felie" (slice) uni-dimensională a spectrului imaginii.

Reconstrucția Fourier a unei imagini CT necesită trei etape. În primul rând, FFT unidimensional este luat de fiecare vedere. În al doilea rând, aceste spectre de vedere sunt folosite pentru a calcula spectrul de frecvențe bidimensional al imaginii, așa cum este subliniat de teorema Fourier slice. Deoarece spectrele de vedere sunt dispuse radial și spectrul imaginii corecte este dispus dreptunghiular, este necesară o rutină de interpolare pentru a face conversia. În al treilea rând, se ia FFT inversă din spectrul imaginii pentru a obține imaginea reconstruită.

Figura 25-19 Filtru backprojection.

Răspunsul în frecvență al filtrului este arătat în (a), și kernel-ul filtrului corespunzător este arătat în (b). Ecuația 25-2 oferă valorile pentru kernel-ul filtrului.

Această conversie "radială la dreptunghiulară" este, de asemenea, cheia pentru înțelegerea procesului de backprojecție filtrată. Aranjamentul radial este spectrul imaginii retrospective (backprojected), în timp ce grila rectangulară este spectrul imaginii corecte. Dacă comparăm o regiune mică a spectrului radial cu regiunea corespunzătoare a rețelei rectangulare, constatăm că valorile eșantionului sunt identice. Dar, au o densitate diferită a eșantionului. Spectrul corect are puncte distanțate uniform între ele, după cum arată chiar spațierea rețelei rectangulare. Spre comparație, spectrul retroproiectat are o densitate mai mare a eșantioanelor în apropierea centrului datorită aranjamentului său radial. Cu alte cuvinte, spițele unei roți sunt mai apropiate lângă butuc. Această problemă nu afectează reconstrucția Fourier, deoarece interpolarea este din valorile celor mai apropiați vecini, nu din densitatea lor.

Filtrul din retroprojecția filtrată anulează această densitate de eșantioane inegală. În particularl, răspunsul în frecvență al filtrului trebuie să fie inversul densității de eșantioane. Deoarece spectrul retroproiectat are o densitate de 1/f, filtrul corespunzător are un răspuns de frecvență f. Acest răspuns de frecvență este prezentat în figura 25-19a. Miezul de filtrare este apoi găsit prin preluarea transformatei Fourier inverse, așa cum se arată în (b). Matematic, kernelul de filtrare este dat de:

Înainte de a părăsi subiectul tomografiei computerizate, trebuie menționat faptul că există mai multe tehnici similare de imagistică în domeniul medical. Toate utilizează cantități extinse de DSP. Tomografia cu emisie de pozitroni (PET) implică injectarea pacientului cu un compus ușor radioactiv care emite pozitroni. Imediat după emisie, pozitronul se anihilează cu un electron, creând două raze gamma care ies din corp în direcții exact opuse. Detectoarele de radiație plasate în jurul pacientului caută aceste raze gamma spate în spate, identificând locația liniei de-a lungul căreia au călătorit razele gamma. Deoarece punctul în care au fost create razele gamma trebuie să fie undeva de-a lungul acestei linii, poate fi folosit un algoritm de reconstrucție similar cu tomografia computerizată. Aceasta are ca rezultat o imagine asemănătoare cu imaginea CT, cu excepția faptului că luminozitatea este legată de cantitatea de material radioactiv prezentă la fiecare locație. Un avantaj unic al PET este faptul că compușii radioactivi pot fi atașați la diferite substanțe folosite de organism într-un anumit mod, cum ar fi glucoza. Imaginea reconstruită este apoi legată de concentrația acestei substanțe biologice. Acest lucru permite imagistica fiziologiei corpului, mai degrabă decât o simplă anatomie. De exemplu, pot fi realizate imagini care arată care porțiuni ale creierului uman sunt implicate în diferite sarcini mentale.

Un competitor mai direct al tomografiei computerizate este imagistica prin rezonanță magnetică (IRM), care se găsește acum în majoritatea spitalelor majore. Această tehnică a fost inițial dezvoltată sub numele de rezonanță magnetică nucleară (RMN). Schimbarea numelui a fost pentru relațiile publice atunci când guvernele locale au protestat împotriva utilizării a ceva nuclear în comunitățile lor. Adesea, era o sarcină imposibilă de a educa publicul că termenul nuclear se referă pur și simplu la faptul că toți atomii conțin un nucleu. O scanare RMN este efectuată prin plasarea pacientului în centrul unui magnet puternic. Undele radio împreună cu câmpul magnetic cauzează rezonarea unor nuclee selectate în organism, ceea ce duce la emisia de unde radio secundare. Aceste unde radio sunt digitalizate și formează setul de date utilizat în algoritmii de reconstrucție RMN. Rezultatul este un set de imagini care par foarte asemănătoare cu tomografia computerizată. Avantajele IRM sunt numeroase: o discriminare bună a țesuturilor moi, o selecție flexibilă de felii și nu se folosesc radiații cu raze X potențial periculoase. Pe partea negativă, RMN este o tehnică mai costisitoare decât CT, și mai slabă pentru imagistica oaselor și a altor țesuturi tari. CT și IRM vor fi pilonii imagisticii medicale pentru mulți ani care vor veni.