Transformata Fourier este liniară, adică posedă proprietățile omogenității și aditivității. Acest lucru este valabil pentru toți cei patru membri ai familiei de transformate Fourier (Transformata Fourier, Seria Fourier, DFT și DTFT).

Figura 10-1 oferă un exemplu de modul în care omogenitatea este o proprietate a Transformatei Fourier. Figura (a) prezintă un semnal arbitrar din domeniul timp, cu spectrul de frecvență corespunzător prezentat în (b). Vom numi aceste două semnale: x[ ] și, respectiv, X[ ]. Omogenitatea înseamnă că o schimbare a amplitudinii într-un domeniu produce o schimbare identică a amplitudinii în celălalt domeniu. Acest lucru ar trebui să aibă sens intuitiv: atunci când amplitudinea unei forme de undă din domeniul timp este schimbată, amplitudinea undelor sinus și cosinus care formează acea formă de undă trebuie, de asemenea, să se schimbe cu o valoare egală.

În forma matematică, dacă x[ ] și X[ ] sunt o pereche de transformate Fourier, atunci kx[ ] și kX[ ] sunt, de asemenea, o pereche de transformate Fourier, pentru orice k constantă. Dacă domeniul frecvență este reprezentat în notație dreptunghiulară, kX[ ] înseamnă că atât partea reală cât și partea imaginară sunt înmulțite cu k. Dacă domeniul frecvență este reprezentat în notația polară, kX[ ] înseamnă că magnitudinea este înmulțită cu k, în timp ce faza rămâne neschimbată.

Figura 10-1 Omogenitatea Transformatei Fourier.

Dacă amplitudinea este schimbată într-un domeniu, ea este schimbată cu aceeași valoare în celălalt domeniu. Cu alte cuvinte, scalarea într-un domeniu corespunde scalării în alt domeniu.

Aditivitatea transformatei Fourier înseamnă că adunarea într-un domeniu corespunde adunării în celălalt domeniu. Un exemplu este prezentat în figura 10-2. În această ilustrație, (a) și (b) sunt semnale în domeniul timp numite x1[n] și x2[n], respectiv. Adunarea acestor semnale produce un al treilea semnal din domeniu timp numit x3[n], prezentat în (c). Fiecare dintre aceste trei semnale are un spectru de frecvență constând dintr-o parte reală și una imaginară, prezentată în (d) până la (i). Deoarece cele două semnale din domeniu timp se adună pentru a produce cel de-al treilea semnal din domeniu, cele două spectre corespunzătoare se adună pentru a produce cel de-al treilea spectru. Spectrele de frecvență sunt adunate în notație dreptunghiulară prin adunarea părților reale la părțile reale și la părților imaginare la părțile imaginare. Dacă: x1[n] + x2[n] = x3[n], atunci: ReX1[f] + ReX2[f] = ReX3[f] și ImX1[f] + ImX2[f] = ImX3[f]. Gândiți-vă la acest lucru în termeni de unde cosinus și sinus. Toate undele cosinus se adună (părțile reale) și toate undele sinus se adună (părțile imaginare) fără nici o interacțiune între cele două.

Figura 10-2 Aditivitatea Transformatei Fourier.

Adunarea a două sau mai multe semnale într-un domeniu conduce la adunarea semnalelor corespondente din celălalt domeniu. În această ilustrație, semnalele din domeniul timp în (a) și (b) sunt adunate pentru a da semnalul din (c). Acesta rezultă în părțile reală și imaginară corespondente ale spectrelor de frecvență de adunat.

Spectrele de frecvență în formă polară nu pot fi adunate direct; ele trebuie transformate în notație dreptunghiulară, adunate și apoi reconvertite înapoi în formă polară. Acest lucru poate fi, de asemenea, înțeles în termeni de cum se comportă sinusoidele. Imaginați-vă că adunați două sinusoide având aceeași frecvență, dar cu diferite amplitudini (A1 și A2) și faze (φ1 și φ2). Dacă două faze se întâmplă să fie aceleași (φ1 = φ2), amplitudinile se vor aduna (A1 + A2) când se adună sinusoidele. Dar, dacă cele două faze se întâmplă exact opuse (φ1 = -φ2), amplitudinile se scad (A1- A2) când se adună sinusoidele. Ideea este că, atunci când sinusoidele (sau spectrele) sunt în formă polară, ele nu pot fi adunate prin simpla adunare a magnitudinilor și fazelor.

În ciuda faptului că este liniară, transformarea Fourier nu este invariantă în deplasare. Cu alte cuvinte, o deplasare în domeniul timp nu corespunde unei deplasări în domeniul frecvență. Acesta este subiectul secțiunii următoare.

Secțiunea următoare: Caracteristicile fazei