Această metodă de a înlocui cu numere complexe unde cosinus și sinus se numește transformare fazorială. Este instrumentul principalul utilizat pentru analiza rețelelor compuse din rezistoare, condensatoare și inductoare. [Mai formal, inginerii electrici definesc transformarea fazorială ca fiind înmulțirea cu termenul complex: e^jωt și luând partea reală. Acest lucru permite ca procedura să fie scrisă ca o ecuație, care este mai ușor de abordat în munca matematică. „Substituția" obține același rezultat final, dar este mai puțin elegantă.]

Primul pas este să înțelegem relația dintre curent și tensiune pentru fiecare dintre aceste dispozitive. Pentru rezistor, ea este exprimată prin legea lui Ohm: v = iR, unde i este curentul instantaneu prin dispozitiv, v este tensiunea instantanee pe dispozitiv, iar R este rezistența. În schimb, condensatorul și inductorul sunt guvernate de ecuații diferențiale: i = Cdv/dt, și v = Ldi/dt, unde C este capacitatea și L este inductanța. În cea mai generală metodă de analiză a circuitelor, aceste ecuații diferențiale urâte sunt combinate așa cum sunt dictate de configurația circuitului și apoi rezolvate pentru parametrii de interes. În timp ce acest lucru va răspunde la orice despre circuit, matematica poate deveni o adevărată harababură.

Acest lucru poate fi mult simplificat prin restricționarea semnalelor la sinusoide. Prin reprezentarea acestor sinusoide cu numere complexe, ecuațiile diferențiale dificile pot fi înlocuite direct cu ecuații algebrice mult mai simple. Figura 30-5 ilustrează modul cum funcționează acest lucru. Tratăm fiecare dintre aceste trei componente (rezistor, condensator și inductor) ca un sistem. Intrarea în sistem este curentul sinusoidal prin dispozitiv, în timp ce ieșirea este tensiunea sinusoidală pe cele două terminale ale sale. Aceasta înseamnă că putem reprezenta intrarea și ieșirea sistemului prin cele două variabile complexe: I (pentru curent) și respectiv V (pentru tensiune). Relația dintre intrare și ieșire poate, de asemenea, să fie exprimată printr-un număr complex. Acest număr complex se numește impedanță și i se dă simbolul: Z. Aceasta înseamnă:

I x Z = V

În cuvinte, numărul complex care reprezintă tensiunea sinusoidală este egal cu numărul complex reprezentând curentul sinusoidal înmulțit cu impedanța (un alt număr complex). Având date două, al treilea poate fi găsit. În formă polară, mărimea impedanței este raportul dintre amplitudinile lui V și I. De asemenea, faza impedanței este diferența de fază dintre V și I.

FIGURA 30-5

Definiția impedanței. Când tensiunile și curenții sinusoidali sunt reprezentate de numere complexe, raportul dintre cele două se numește impedanță și se notează cu variabila complexă Z. Rezistoarele, condensatoarele și inductoarele au impedanțe R, -j/ωC, respectiv jωL.

Această relație poate fi considerată drept legea lui Ohm pentru sinusoide. Legea lui Ohm (v = iR) descrie modul în care rezistența se raportează la curentul și tensiunea instantanee într-un rezistor. Când semnalele sunt sinusoide reprezentate de numere complexe, relația devine: V = IZ. Adică impedanța se raportează la curent și tensiune. Rezistența este un număr obișnuit, deoarece se ocupă de două numere obișnuite. Impedanța este un număr complex, deoarece se referă la două numere complexe. Impedanța conține mai multe informații decât rezistența, deoarece dictează atât amplitudinea cât și unghiul de fază.

Din ecuațiile diferențiale ce guvernează funcționarea lor, se arată că impedanța rezistorului, condensatorului și inductorului sunt: ​​R, -j/ωC, respectiv jωL. Ca exemplu, imaginați-vă că curentul în fiecare dintre aceste componente este o undă cosinus de amplitudine unitate, așa cum se arată în Fig. 30-5. Folosind substituția, aceasta este reprezentat de numărul complex: 1+0j. Tensiunea pe rezistor va fi: V = IZ = (1+ 0j) R = R + 0j. Cu alte cuvinte, o undă cosinus de amplitudine R. Tensiunea pe condensator se găsește a fi: V = IZ = (1+ 0j) (-j/ωC). Aceasta se reduce la: 0 - j/ωC, o undă sinus de amplitudine 1/ωC. De asemenea, tensiunea din inductor poate fi calculată V = IZ = (1 + 0j) (jωL). Aceasta se reduce la: 0 + jωL, o undă sinus negativă de amplitudine, ωL.

Frumusețea acestei metode este că circuitele RLC pot fi analizate fără a fi nevoie să recurgă la ecuații diferențiale. Impedanța rezistoarelor, condensatoarelor, și inductoarelor este tratată la fel ca rezistența într-un circuit de curent continuu. Aceasta include toate combinațiile de bază, cum ar fi: rezistoarțe în serie, rezistoare în paralel, divizoare de tensiune etc.

Ca exemplu, Fig. 30-6 prezintă un circuit RLC numit filtru notch, utilizat pentru a îndepărta o bandă îngustă de frecvențe. De exemplu, ar putea elimina interferența de 60 de hertzi într-un semnal audio sau de instrumentație. Dacă acest circuit ar fi fost compus din trei rezistoare (în loc de rezistor, condensator și inductor), relația dintre semnalele de intrare și ieșire ar fi dată de formula divizorului de tensiune: vout/vin = (R2+R3)/(R1+R2+R3). Deoarece circuitul conține condensatoare și inductoare, ecuația este rescrisă cu impedanțe:

unde: Vout , Vin , Z1, Z2 și Z3 sunt toate variabile complexe. Introducând în impedanța fiecărei componente:

În continuare, manevrăm prin algebră pentru a separa tot ceea ce conține un j, de tot ceea ce nu conține un j. Cu alte cuvinte, separăm ecuația în părțile sale reală și imaginară. Această algebră poate fi obositoare și lungă, dar alternativa este să scrieți și să rezolvați ecuații diferențiale, o sarcină și mai neplăcută. Atunci când este separat în părțile reală și imaginară, reprezentarea complexă a filtrului notch devine:

În cele din urmă, relația este convertită în notație polară și este trasată în Fig. 30-7:

FIGURA 30-7

Răspunsul în frecvență al filtrului notch. Aceste curbe sunt pentru valorile componente: R = 50 Ω, C = 470pF și L = 54 μH.

Ideea de reținut din aceste exemple este modul în care substituția permite numerelor complexe să reprezinte probleme din lumea reală. În capitolul următor, vom analiza un mod mai avansat de a utiliza numere complexe în știință și inginerie, echivalența matematică.