Filtrele high-pass, band-pass și band-reject sunt proiectate pornind de la un filtru low-pass și apoi transformându-l în răspunsul dorit. Din acest motiv, majoritatea discuțiilor despre proiectare de filtre oferă doar exemple de filtre low-pass. Există două metode pentru conversia de la low-pass la high-pass: inversiunea spectrală și răsturnarea spectrală. Ambele sunt la fel de utile.

Un exemplu de inversiune spectrală este prezentat în 14-5. Figura (a) prezintă un kernel de filtru low-pass numit fereastră-sinc (subiectul capitolului 16). Acest kernel de filtru are o lungime de 51 de puncte, deși multe dintre eșantioane au o valoare atât de mică încât par să fie zero în acest grafic. Corespondența răspunsul în frecvență este prezentată în (b), găsită prin adăugarea a 13 zerouri la nucleul filtrului și aplicarea unei FFT de 64 de puncte. Două lucruri trebuie făcute pentru a schimba kernel-ul filtrului low-pass într-un kernel de filtru high-pass. Mai întâi, schimbați semnul fiecărui eșantion în kernelul filtrului. În al doilea rând, adăugați unu la eșantionul din centrul de simetrie. Acest lucru are ca rezultat nucleul de filtru high-pass prezentat în (c), cu răspunsul în frecvență prezentat în (d). Inversiunea spectrală răstoarnă răspunsul în frecvență de sus-jos, schimbând benzile de trecere în benzi de stop și benzile de stop în benzi de trecere. Cu alte cuvinte, se schimbă un filtru de la low-pass la high-pass, high-pass la low-pass, band-pass la band-reject sau band-reject la band-pass.

Figura 14-6 arată de ce această modificare în două etape a domeniului timp are ca rezultat un spectru de frecvență inversat. În (a), semnalul de intrare, x[n], este aplicat la două sisteme în paralel. Unul dintre aceste sisteme este un filtru trece-jos, cu un răspuns la impuls dat de h[n]. Celălalt sistem nu face nimic pentru semnal și, prin urmare, are un răspuns la impuls care este o funcție delta, δ[n]. Ieșirea totală, y[n], este egală cu ieșirea din sistemul all-pass minus ieșirea sistemului low-pass. Deoarece componentele de joasă frecvență sunt scăzute din semnalul original, numai componentele de înaltă frecvență apar în ieșire. Astfel, se formează un filtru high-pass.

Acest lucru ar putea fi efectuat ca o operație în doi pași într-un program de calculator: rulați semnalul printr-un filtru trece-jos, apoi scădeți semnalul filtrat din original. Totuși, întreaga operație poate fi efectuată într-o etapă de semnal prin combinarea celor două nuclee de filtrare. Așa cum este descris în capitolul 7, sistemele paralele cu ieșiri adunate pot fi combinate într-o singură etapă prin adunarea răspunsurilor lor la impuls. Așa cum se arată în (b), kernelul de filtru pentru filtrul trece-sus este dat de: δ[n] - h[n]. Adică, schimbați semnul tuturor eșantioanelor și apoi adăugați unu la eșantionul din centrul de simetrie.

Figura 14-7 Exemplu de inversare spectrală.

Nucleul filtrului trece-jos din (a) are răspunsul în frecvență arătat în (b). Un nucleu de filtru trece-sus (c) este format prin schimbarea semnului fiecărui alt eșantion din (a), în afara de cel din centrul de simetrie la care se adaugă unu. Această acțiune în domeniul timp rezultă în domeniul frecvență fiind comutată stânga-dreapta, conducând la un răspuns în frecvență trece-sus arătat în (d).

Pentru ca această tehnică să funcționeze, componentele de joasă frecvență care ies din filtrul trece-jos trebuie să aibă aceeași fază ca și componentele de joasă frecvență care ies din sistemul all-pass. În caz contrar, o scădere completă nu poate avea loc. Aceasta plasează două restricții asupra metodei: (1) kernelul filtrului original trebuie să aibă simetrie stânga-dreapta (adică o fază zero sau liniară) și (2) impulsul trebuie adăugat la centrul de simetrie.

A doua metodă pentru conversia low-pass la high-pass, spectral reversal, este ilustrată în figura 14-7. La fel ca înainte, kernel-ul filtrului low-pass în (a) corespunde răspunsului în frecvență din (b). Kernel-ul filtrului high-pass (c) este format prin schimbarea semnului fiecărui alt eșantion în (a). Așa cum este arătat în (d), aceasta inversează domeniul frecvență stânga-dreapta: 0 devine 0,5 și 0,5 devine 0. Frecvența cutoff a filtrului low-pass exemplu este 0,15, rezultând frecvența cutoff a filtrului high-pass fiind de 0,35.

Schimbarea semnului fiecărui alt eșantion este echivalentă cu înmulțirea kernelului de filtrare cu un sinusoid cu o frecvență de 0,5. Așa cum am discutat în Capitolul 10, acest lucru are efectul de a deplasa domeniul frecvență cu 0,5. Uitați-vă la (b) și imaginați frecvențele negative între -0,5 și 0 care sunt imaginea în oglindă a frecvențelor între 0 și 0,5. Frecvențele care apar în (d) sunt frecvențele negative din (b) deplasate cu 0,5.

În sfârșit, Fig. 14-8 și 14-9 arată cum pot fi combinate kernel-urile filtrelor low-pass și high-pass pentru a forma filtre band-pass și band-reject. Pe scurt, adunarea kernel-urilor de filtrare produce un filtru band-reject, în timp ce convoluția kernel-urilor produce un filtru band-pass. Acestea se bazează pe modul în care se combină sistemele în cascadă și paralel, așa cum este discutat în capitolul 7. Pot fi de asemenea utilizate mai multe combinații ale acestor tehnici. De exemplu, un filtru trece-bandă poate fi proiectat prin adăugarea celor două nuclee de filtrare pentru a forma un filtru trece-bandă și apoi se utilizează inversiunea spectrală sau răsturnarea spectrală așa cum a fost descris anterior. Toate aceste tehnici funcționează foarte bine, cu puține surprize.

Secțiunea următoare: Clasificarea filtrelor