Proprietatea comutativității

Proprietatea comutativității pentru convoluție este exprimată în forma matematică:

În cuvinte, ordinea în care două semnale sunt în convoluție nu face nici o diferență; rezultatele sunt identice. După cum se arată în figura 7-8, acest lucru are un înțeles ciudat pentru teoria sistemelor. În orice sistem liniar, semnalul de intrare și răspunsul la impuls al sistemului pot fi schimbate fără a schimba semnalul de ieșire. Acest lucru este interesant, dar de obicei nu are nici un sens fizic. Semnalul de intrare și răspunsul la impuls sunt lucruri foarte diferite. Doar pentru că permite matematica să faci ceva, nu înseamnă că are sens să o faci. De exemplu, să presupunem că faceți: 10 $/oră? 2.000 ore/an = 20.000 $/an. Proprietatea comutativității pentru înmulțire vă oferă posibilitatea de a lua același salariu anual, lucrând doar 10 ore/an la 2000 $/oră. Să vedem cum convingi șeful tău că asta are sens! În ciuda acestui fapt, proprietatea comutativității vede o mare utilizare în DSP pentru manipularea ecuațiilor, la fel ca în algebra obișnuită.

Figura 7-8 Proprietatea comutativității în teoria sistemelor.

Proprietatea comutativității convoluției permite ca semnalul de intrare și răspunsul la impuls ale unui sistem să fie interschimbate fără ca ieșirea să se schimbe. Deși este de interes, aceasta nu are, uzual, nici o semnificație fizică. (Semnalul care apare în interiorul unei casete, cum sunt b[n] și a[n] în această figură, reprezintă răspunsul la impuls al sistemului).

Proprietatea asociativității

Este posibil să fie în convoluție trei sau mai multe semnale? Răspunsul este da, iar proprietatea asociativității descrie cum: faceți convoluția a două semnale pentru a produce un semnal intermediar, apoi faceți convoluția semnalului intermediar cu cel de-al treilea semnal. Proprietatea asociativității prevede că ordinea convoluțiilor nu contează. Ca în ecuația:

Proprietatea asociativității este folosită în teoria sistemelor pentru a descrie modul în care se comportă sistemele în cascadă. Așa cum se arată în figura 7-9, se spune că două sau mai multe sisteme sunt într-o cascadă dacă ieșirea unui sistem este utilizată ca intrare pentru următorul sistem. Din proprietatea asociativității, ordinea sistemelor poate fi rearanjată fără a schimba răspunsul global al cascadei. Mai mult, orice număr de sisteme în cascadă poate fi înlocuit cu un singur sistem. Răspunsul la impuls al sistemului de înlocuire se găsește prin convoluția răspunsurilor la impuls ale tuturor sistemelor originale.

Figura 7-9 Proprietatea asociativității în teoria sistemelor.

Proprietatea asociativității realizează două importante caracteristici ale sistemelor liniare în cascadă. În primul rând, ordinea sistemului poate fi rearanjată fără modificarea operației generale a cascadei. În al doilea rând, două sau mai multe sisteme în cascadă pot fi înlocuite cu un singur sistem. Răspunsul la impuls al sistemului înlocuit este găsit prin convoluția răspunsurilor la impuls al etajelor înlocuite.

Proprietatea distributivității

În forma de ecuație, proprietatea distributivității este scrisă:

Proprietatea distributivității descrie funcționarea sistemelor paralele cu ieșiri adunate. Cum se arată în figura 7-10, două sau mai multe sisteme pot partaja aceeași intrare, x[n] și au ieșirile lor adunate pentru a produce y[n]. Proprietatea distributivității permite ca această combinație de sisteme să fie înlocuită cu un singur sistem, având un răspuns la impuls egal cu suma răspunsurilor la impuls ale sistemelor originale.

Figura 7-10 Proprietatea distributivității în teoria sistemelor.

Proprietatea distributivității arată că sistemele paralele cu ieșirile adunate pot fi înlocuite cu un singur sistem. Răspunsul la impuls al sistemului înlocuit este egal cu suma răspunsurilor la impuls ale tuturor sistemelor originale.

Transferul între intrare și ieșire

În loc să fie o proprietate matematică formală, acesta este un mod de a gândi despre o situație comună în procesarea semnalelor. Așa cum este ilustrat în figura 7-11, imaginați-vă un sistem liniar care recepționează un semnal de intrare,

x[n], și generând un semnal de ieșire, y[n]. Acum, presupunem că semnalul de intrare este schimbat în mod liniar, rezultând un nou semnal de intrare, pe care îl vom numi x'[n]. Acest lucru are ca rezultat un nou semnal de ieșire, y`[n]. Întrebarea este, cum schimbarea semnalului de intrare se referă la schimbarea semnalului de ieșire? Răspunsul este: semnalul de ieșire se modifică exact în același mod linear cu care semnalul de intrare a fost schimbat. De exemplu, dacă semnalul de intrare este amplificat cu un factor de doi, semnalul de ieșire va fi, de asemenea, amplificat cu un factor de doi. Dacă derivata este făcută la semnalul de intrare, derivata va fi de asemenea făcută la semnalul de ieșire. Dacă intrarea este filtrată într-un fel, ieșirea va fi filtrată într-o manieră identică. Acest lucru poate fi ușor demonstrat prin utilizarea proprietății asociativității.

Figura 7-11 Transferul între intrare și ieșire.

Acesta este un mod de gândire despre o situație comună în procesarea semnalelor. O schimbare liniară făcută la semnalul de intrare rezultă în aceeași schimbare liniară făcută la semnalul de ieșire.

Teorema limitei centrale

Teorema limitei centrale este un instrument important în teoria probabilităților deoarece explică matematic de ce distribuția de probabilitate Gaussiană este observată atât de frecvent în natură. De exemplu: amplitudinea zgomotului termic în circuitele electronice urmează o distribuție Gaussiană; intensitatea transversală a unui fascicul laser este Gaussiană; chiar și modelul de găuri în jurul unui ochi de tablă de dart este Gaussian. În forma sa cea mai simplă, teorema limitei centrale afirmă că o distribuție Gaussiană rezultă atunci când variabila observată este suma multor procese aleatorii. Chiar dacă procesele componente nu au o distribuție Gaussiană, suma lor va fi.

Teorema limitei centrale are o implicație interesantă pentru convoluție. Dacă un semnal asemănător cu impuls este în convoluție cu el însuși de mai multe ori, se produce un Gaussian. Figura 7-12 arată un exemplu de acest lucru.

Semnalul din (a) este un impuls neregulat, intenționat ales să fie foarte diferit de un Gaussian. Figura (b) arată rezultatul convoluției acestui semnal cu el însuși odată. Figura (c) prezintă rezultatul convoluției acestui semnal cu el însuși de trei ori. Chiar și cu doar trei convoluții, forma de undă arată foarte mult ca un Gaussian. În jargonul matematicii, procedura converge foarte rapid într-un Gaussian. Lățimea Gaussianului rezultat (σ în Ec. 2-7 sau 2-8) este egală cu lățimea impulsului original (exprimată ca σ în Ec. 2-7) înmulțită cu rădăcina pătrată a numărului de convoluții.

Secțiunea următoare: Corelație