O analogie va ajuta la explicarea modului în care transformata Laplace este utilizată în procesarea semnalului. Imaginați-vă o călătorie cu trenul noaptea între două orașe. Harta dvs. indică faptul că drumul este foarte drept, dar noaptea este atât de întunecată încât nu puteți vedea nimic din mediul rural. Cu nimic mai bun de făcut, observați un altimetru pe peretele vagonului de pasageri și decideți să urmăriți schimbările de altitudine de-a lungul traseului.

Fiind plictisit după câteva ore, stârniți o conversație cu conductorul: „Teren interesant”, spuneți voi. „Se pare că în general creștem în altitudine, dar am observat câteva neregularități interesante.” Ignorând dezinteresul evident al conductorului, continuați: „Aproape de începutul călătoriei noastre, am trecut printr-un fel de ascensiune bruscă, urmată de o coborâre la fel de bruscă. Mai târziu am întâlnit o depresiune superficială.” Crezând că puteți fi periculos sau "dus cu pluta", conductorul decide să răspundă: „Da, este adevărat. Destinația noastră este situată la baza unui lanț muntos mare, explicând creșterea generală în altitudine. Dar, de-a lungul drumului trecem pe marginea unui munte mare și prin centrul unei văi.“

Acum, gândiți-vă cum să înțelegeți relația dintre altitudine și distanță de-a lungul traseului trenului, în comparație cu cea a conductorului. Din moment ce ați măsurat direct altitudinea pe parcurs, puteți afirma pe bună dreptate că știți totul despre relație. În comparație, conductorul cunoaște aceeași informație completă, dar într-o formă mai simplă și mai intuitivă: amplasarea dealurilor și a văilor care provoacă coborârile și urcările de-a lungul căii. În timp ce descrierea dvs. a semnalului poate consta în mii de măsurători individuale, descrierea semnalului de către conductor va conține doar câțiva parametri.

Pentru a arăta cum acest lucru este analog procesării semnalului, imaginați-ne că încercăm să înțelegem caracteristicile unui circuit electric. Pentru a ajuta la investigația noastră, măsurăm cu atenție răspunsul la impuls și/sau răspunsul în frecvență. După cum s-a discutat în capitolele anterioare, răspunsurile la impuls și în frecvență conțin informații complete despre acest sistem liniar.

Totuși, acest lucru nu înseamnă că știți informațiile în cel mai simplu mod. În particular, înțelegeți răspunsul în frecvență ca un set de valori care se schimbă cu frecvența. La fel ca în analogia trenului nostru, răspunsul în frecvență poate fi mai ușor înțeles în termeni ce privește terenul din jurul răspunsului în frecvență. Adică prin caracteristicile planului-s.

Având în vedere analogia trenului, priviți înapoi la Fig. 32-3 și întrebați: cum ajută forma acestui domeniu-s în înțelegerea răspunsului în frecvență? Răspunsul este că nu! Planul-s din acest exemplu face un grafic frumos, dar nu oferă nicio informație despre motivul pentru care domeniul frecvență se comportă așa cum se întâmplă. Aceasta se datorează faptului că transformata Laplace este concepută pentru a analiza o clasă specifică de semnale din domeniu timp: răspunsuri la impuls care constau în sinusoide și exponențiale. Dacă transformata Laplace este aplicată la altă formă de undă (cum ar fi pulsul dreptunghiular din Fig. 32-3), domeniul-s rezultat este lipsit de sens.

Așa cum am menționat în introducere, sistemele care aparțin acestei clase sunt extrem de frecvente în știință și inginerie. Acest lucru se datorează faptului că sinusoidele și exponențialele sunt soluții la ecuații diferențiale, matematica care controlează o mare parte din lumea noastră fizică. De exemplu, toate sistemele următoare sunt guvernate de ecuații diferențiale: circuite electrice, propagarea undelor, mișcare liniară și de rotație, câmpuri electrice și magnetice și flux de căldură.

Imaginează-ți că încercăm să înțelegem un sistem liniar care este controlat de ecuații diferențiale, cum ar fi un circuit electric. Rezolvarea ecuațiilor diferențiale oferă o modalitate matematică de a găsi răspunsul la impuls. Alternativ, am putea măsura răspunsul la impuls folosind generatoare de impulsuri, osciloscoape, înregistratoare de date, etc. Înainte de a inspecta răspunsul la impuls nou găsit, ne întrebăm ce așteptăm să găsim. Există mai multe caracteristici ale formei de undă pe care le cunoaștem fără să le privim. În primul rând, răspunsul la impuls trebuie să fie cauzal. Cu alte cuvinte, răspunsul la impuls trebuie să aibă o valoare de zero până când intrarea devine nenulă la t = 0. Aceasta este cauza și efectul pe care se bazează universul nostru.

Al doilea lucru pe care îl știm despre răspunsul la impuls este că va fi compus din sinusoide și exponențiale, deoarece acestea sunt soluțiile ecuațiilor diferențiale care guvernează sistemul. Încercați cum s-ar putea, nu vom găsi niciodată acest tip de sistem având un răspuns la impuls care este, de exemplu, un puls pătrat sau o formă de undă triunghiulară. În al treilea rând, răspunsul la impuls va fi infinit in lungime. Adică are valori nenule care se întind de la t = 0 la t = + ∞. Acest lucru se datorează faptului că undele sinus și cosinus au o amplitudine constantă și exponențiale se descompun spre zero fără a ajunge vreodată la el. Dacă sistemul pe care îl investigăm este stabil, amplitudinea răspunsului la impuls va deveni mai mică pe măsură ce timpul crește, atingând o valoare de zero la t = +∞. Există, de asemenea, posibilitatea ca sistemul să fie instabil - de exemplu, un amplificator care oscilează spontan din cauza unei cantități excesive de feedback. În acest caz, răspunsul la impuls va crește în amplitudine pe măsură ce timpul trece, devenind infinit de mare. Chiar și cea mai mică perturbare a acestui sistem va produce o ieșire nelimitată.

Matematica generală a transformatei Laplace este foarte similară cu cea a transformatei Fourier. În ambele cazuri, formele de undă prestabilite sunt înmulțite cu semnalul din domeniul timp, iar rezultatul este integrat. La prima vedere, s-ar părea că strategia transformatei Laplace este aceeași cu cea a transformatei Fourier: corelarea semnalului din domeniu timp cu un set de funcții de bază pentru a descompune forma de undă. Neadevarat! Chiar dacă matematica este mult aceeași, rațiunea din spatele celor două tehnici este foarte diferită. Transformata Laplace sondează forma de undă din domeniul timp pentru a identifica caracteristicile sale cheie: frecvențele sinusoidelor și constantele de descompunere ale exponențialelor. Un exemplu va arăta cum lucrează aceasta.

Coloana centrală din fig. 32-5 arată răspunsul la impuls al filtrului de crestătură RLC discutat în capitolul 30. Conține un impuls la t = 0, urmat de o sinusoidă în descompunere exponențială. Așa cum este ilustrat în litera (a) până la (e), vom sonda acest răspuns la impuls cu diverse sinusoide în descompunere exponențială. Fiecare dintre aceste forme de undă sondatoare este caracterizată de doi parametri: ω, care determină frecvența sinusoidală, și σ, care determină rata de descompunere. Cu alte cuvinte, fiecare formă de undă de sondare corespunde unei locații diferite în planul-s, așa cum se arată în diagrama planului-s din fig. 32-4. Răspunsul la impuls este sondat prin înmulțirea lui cu aceste forme de undă, apoi integrând rezultatul de la t = - ∞ la + ∞. Această acțiune este prezentată în coloana din dreapta. Scopul nostru este să găsim combinații de σ și ω care anulează exact răspunsul la impuls care este investigat. Această anulare poate apărea sub două forme: aria de sub curbă poate fi sau zero sau doar aproape infinită. Toate celelalte rezultate sunt neinteresante și pot fi ignorate. Locațiile din planul-s care produc o anulare la zero se numesc zerouri ale sistemului. De asemenea, locațiile care produc tipul de anulare „aproape infinită” se numesc poli. Polii și zerourile sunt analoge munților și văilor din povestea noastră cu trenul, reprezentând terenul „în jurul” răspunsului în frecvență.

Fig. 32-5 Probarea răspunsului la impuls.
Transformata Laplace poate fi privită ca sondând răspunsul la impuls al sistemului cu diverse sinusoide în descompunere exponențială. Sondarea formelor de undă care produc o anulare se numesc poli și zerouri. Această ilustrare arată cinci forme de undă de sondare (coloana din stânga) aplicate răspunsului la impulsul al unui filtru notch=de crestătură (coloana centrală). Locațiile din planul s care corespund acestor cinci forme de undă sunt prezentate în Fig. 32-4.

Pentru a începe, considerați ce se întâmplă când forma de undă de sondare scade în amplitudine pe măsură ce timpul avansează, așa cum se arată în (a). Aceasta se va produce ori de câte ori σ > 0 (jumătatea dreaptă a planului s). Deoarece atât răspunsul la impulsului cât și sonda devin mai mici odată cu creșterea timpului, produsul celor două va avea aceeași caracteristică. Când produsul celor două forme de undă este integrat de la minus la plus infinit, rezultatul va fi un număr care nu este deosebit de interesant. În special, o sondă în scădere nu poate anula un răspuns la impuls descrescător. Aceasta înseamnă că un sistem stabil nu va avea poli cu σ > 0. Cu alte cuvinte, toți poli dintr-un sistem stabil se limitează la jumătatea stângă a planului-s. De fapt, polii din jumătatea dreaptă a planului-s arată că sistemul este instabil (adică., un răspuns la impuls care crește cu timpul).

Figura (b) prezintă unul dintre cazurile speciale pe care le-am căutat. Când această formă de undă este înmulțită cu răspunsul la impuls, integrala rezultată are o valoare de zero. Acest lucru se întâmplă deoarece aria de deasupra axei-x (din funcția delta) este exact egală cu aria de dedesubt (din sinusoida redresată). Valorile pentru σ și ω care produc acest tip de anulare se numesc un zero al sistemului. Așa cum se arată în diagrama planului-s din fig. 32-4, zerourile sunt indicate de mici cercuri (o).

Figura (c) arată următoarea sondă pe care o putem încerca. Aici folosim o sinusoidă care crește exponențial cu timpul, dar cu o viteză mai lentă decât scade răspunsul la impuls cu timpul. Acest lucru duce la scăderea produsului celor două forme de undă odată cu avansarea timpului. Ca și la (a), acest lucru face ca integrala produsului să devină un număr real neinteresant, aspectul important fiind acela nu se produce niciun tip de anulare exactă.

Sărind din ordine, uitați-vă la (e), o formă de undă de sondare care crește cu o viteză mai rapidă decât decăderea răspunsului la impuls. Când este înmulțit, semnalul rezultat crește în amplitudine odată cu avansarea timpului. Aceasta înseamnă că aria de sub curbă devine mai mare odată cu creșterea timpului, iar aria totală de la t = - ∞ la + ∞ nu este definită. În jargonul matematic, integrala nu converge. Cu alte cuvinte, nu toate ariile planului-s au o valoare definită. Porțiunea planului-s unde este definită integrala se numește regiune de convergență. În unele tehnici matematice este important să știm ce porțiuni ale planului-s se află în regiunea de convergență. Dar, această informație nu este necesară pentru aplicațiile din această lucrare. Doar anulările exacte sunt de interes pentru această discuție.

În (d), forma de undă de sondare crește exact la aceeași viteză cu care răspunsul la impuls scade. Acest lucru face ca produsul celor două forme de undă să aibă o amplitudine constantă. Cu alte cuvinte, aceasta este linia de împărțire între (c) și (e), rezultând o arie totală care este doar foarte puțin nedefinită (dacă matematicienii vor ierta această descriere liberă). În termeni mai exacți, acest punct este pe linia de frontieră a regiunii de convergență. Așa cum am menționat, valorile pentru σ și ω care produc acest tip de anulare exactă sunt denumite polii sistemului. Polii sunt indicați în planul-s prin cruciulițe (x).