Undele sinus și cosinus utilizate în DFT sunt denumite în mod obișnuit funcțiile de bază ale DFT. Cu alte cuvinte, ieșirea DFT este un set de numere care reprezintă amplitudini. Funcțiile de bază sunt un set de unde sinus și cosinus cu amplitudine unitate. Dacă atribuiți fiecare amplitudine (domeniul frecvență) la unda sinus sau cosinus corectă (funcțiile de bază), rezultatul este un set de unde sinus și cosinus scalate care pot fi adunate pentru a forma semnalul din domeniul timp.

Funcțiile de bază ale DFT sunt generate din ecuațiile:

unde: ck[ ] este unda cosinus pentru amplitudinea păstrată în ReX[k], și sk[ ] este unda sinus pentru amplitudinea păstrată în ImX[k]. De exemplu, Figura 8-5 prezintă unele dintre cele 17 unde sinus și 17 unde cosinus utilizate într-o DFT de N = 32 de puncte. Deoarece aceste sinusoide se adună pentru a forma semnalul de intrare, ele trebuie să aibă aceeași lungime ca semnalul de intrare. În acest caz, fiecare are 32 de puncte care rulează de la i = 0 la 31. Parametrul k stabilește frecvența fiecărui sinusoid. În particular, c1[ ] este unda cosinus care face un ciclu complet în N puncte, c5[ ] este unda cosinus care face cinci cicluri complete în N puncte, etc. Acesta este un concept important în înțelegerea funcțiilor de bază; parametrul de frecvență k este egal cu numărul de cicluri complete care au loc pe N puncte ale semnalului.

Figura 8-5 Funcții de bază DFT.

O DFT de 32 de puncte are 17 unde discrete cosinus și 17 unde discrete sinus pentru funcțiile sale de bază. Opt din acestea sunt prezentate în această figură. Acestea sunt semnale discrete; liniile continue sunt arătate numai pentru a ajuta ochiul să urmărească formele de undă.

Să analizăm în detaliu câteva dintre aceste funcții de bază. Figura (a) prezintă unda cosinus c₀ [ ]. Aceasta este o undă cosinus de frecvență zero, care are o valoare constantă de unu. Aceasta înseamnă că ReX[0] păstrează valoarea medie a tuturor punctelor din semnalul domeniului timp. În electronică, s-ar spune că ReX [0] păstrează offsetul DC. Unda sinus de frecvență zero, s₀ [ ], este prezentată în (b), un semnal compus tot din zerouri. Deoarece acest lucru nu poate afecta semnalul din domeniul timp care este sintetizat, valoarea lui ImX[0] este irelevantă și întotdeauna setată la zero. Mai multe despre acest lucru în curând.

Figurile (c) și (d) prezintă c2[ ] și s2[ ], sinusoide care completează două cicluri în N puncte. Acestea corespund la ReX[2] și ImX[2], respectiv. De asemenea, (e) și (f) prezintă c10[ ] & s10[ ], sinusoide care completează zece cicluri în N puncte. Aceste sinusoide corespund amplitudinilor deținute în ReX[10] și ImX[10]. Problema este că eșantioanele din (e) și (f) nu mai arată ca undele sinus și cosinus. În cazul în care curbele continue nu au fost prezente în aceste grafice, veți avea un timp dificultăți chiar și în detectarea modelelor de undă. Acest lucru vă poate face puțin neliniștit, dar nu vă faceți griji. Din punct de vedere matematic, aceste eșantioane formează sinusoide discrete, chiar dacă ochiul nu poate urma modelul.

Cele mai înalte frecvențe în funcțiile de bază sunt prezentate în (g) și (h). Acestea sunt c_N/2[ ] & s_N/2[ ], sau în acest exemplu, c₁₆[ ] & s₁₆[ ]. Unda discretă cosinus alternează în valoare între 1 și -1, care poate fi interpretată ca eșantionarea unui sinusoid continuu la vârfuri. Dimpotrivă, undele sinus discrete conțin toate zerouri, care rezultă din eșantionarea la trecerile prin zero. Aceasta face ca valoarea ImX[N/2] să fie aceeași cu ImX[0], întotdeauna egală cu zero și fără a afecta sinteza semnalului din domeniu timp.

Iată un puzzle: Dacă sunt N eșantioane care intră în DFT și N+2 eșantioane la ieșire, de unde au provenit informațiile suplimentare? Răspunsul: două dintre eșantioanele de ieșire nu conțin informații, permițând celorlalte N eșantioane să fie complet independente. După cum probabil ați ghicit, punctele care nu conțin informații sunt ImX[0] și ImX[N/2], eșantioanele care au întotdeauna o valoare zero.

Secțiunea următoare: Sinteza, calculul DFT inversă