Inversa, notată cu A^-1, a unei matrici pătrate este o matrice pătrată astfel încât

A^-1 A = A A^-1 = I

unde I este matricea identitate. Inversa unei matrici există dacă și numai dacă determinantul matricei nu este zero (adică este nesingulară). În general, puteți găsi doar inversa unei matrici pătrate. Puteți, totuși, să calculați pseudoinversa unei matrici dreptunghiulare, așa cum este discutat mai târziu în secțiunea 8.4.

Soluții ale sistemelor de ecuații liniare

În notația vector-matrice, un sistem de ecuații liniare are forma Ax = b, unde A este o matrice n×n și b este un vector-n dat. Scopul este de a determina x, soluția necunoscută vector-n. Există două întrebări importante care trebuie puse despre existența unei astfel de soluții. Există o astfel de soluție, și dacă da, este unică? Răspunsul la ambele aceste întrebări se află în determinarea singularității sau nesingularității matricii A.

După cum s-a discutat anterior, se spune că o matrice este singulară dacă are oricare dintre următoarele proprietăți echivalente:

• Inversa matricei nu există.
• Determinantul matricii este zero.
• Liniile (sau coloanele) lui A sunt liniar dependente.
• Az = 0 pentru un anumit vector z ≠ 0.

În caz contrar, matricea este nesingulară. Dacă matricea este nesingulară, inversa ei A^-1 există, iar sistemul Ax = b are o soluție unică: x = A^-1b indiferent de valoarea lui b. Pe de altă parte, dacă matricea este singulară, atunci numărul de soluții este determinat de vectorul din dreapta b. Dacă A este singulară și Ax = b, atunci A(x+ϒz) = b pentru orice scalar ϒ, unde vectorul z este ca în ultima definiție de mai sus. Astfel, dacă un sistem singular are o soluție, atunci soluția nu poate fi unică.

Nu este o idee bună să calculăm în mod explicit inversa unei matrice, deoarece un astfel de calcul este predispus la inexactități numerice. Prin urmare, nu este o strategie bună pentru a rezolva un sistem liniar de ecuații prin înmulțirea inversei matricii A cu vectorul cunoscut din dreapta. Strategia generală de rezolvare a unui astfel de sistem de ecuații este de a transforma sistemul original într-unul a cărui soluție este aceeași cu cea a sistemului original, dar este mai ușor de calculat. O modalitate de a face acest lucru este de a folosi tehnica Eliminarea Gaussiană. Cele trei etape de bază implicate în tehnica de eliminare gaussiană sunt următoarele. Mai întâi, exprimați matricea A ca un produs A = LU, în care L este o matrice triunghiulară inferioară și U este o matrice triunghiulară superioară. O astfel de factorizare este cunoscută sub numele de factorizare LU. Având în vedere acest lucru, sistemul liniar Ax = b poate fi exprimat ca LUx = b: Un astfel de sistem poate fi apoi rezolvat mai întâi prin rezolvarea sistemului triunghiular inferior Ly = b pentru y prin substituție directă. Acesta este al doilea pas în tehnica de eliminare gaussiană. De exemplu, dacă

Primul element al lui y poate fi determinat cu ușurință datorită caracterului triunghiular inferior al matricei L. Apoi puteți utiliza această valoare pentru a calcula elementul rămas ale vectorului necunoscut secvențial. De aici, numele substituție-directă. Etapa finală implică rezolvarea sistemului triunghiular superior Ux = y prin înlocuire inversă. De exemplu, dacă

În acest caz, ultimul element al lui x poate fi ușor determinat și apoi utilizat pentru a determina celelalte elemente în mod secvențial. De aici, numele de înlocuire înapoi. Până în prezent, această lecție a discutat despre cazul matricilor pătrate. Deoarece o matrice nepătrată este neapărat singulară, sistemul de ecuații nu trebuie să aibă nici o soluție, fie o soluție neunică. Într-o astfel de situație, de obicei, găsiți o soluție unică x care satisface sistemul liniar într-un sens aproximativ.

Biblioteca de analiză include VI-uri pentru calcularea inversei unei matrice, calcularea descompunerii LU a unei matrice și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare. Este important să identificăm matricea de intrare în mod corespunzător, deoarece ajută la evitarea calculelor inutile, care la rândul lor ajută la minimizarea inexactității numerice. Cele patru tipuri de matrice posibile sunt matrici generale, matrici definite pozitive și matrici triunghiulare inferioare și superioare. Dacă matricea de intrare este pătrată, dar nu are un rang maxim (o matrice cu deficiență de rang), atunci VI-ul găsește soluția x cel mai mic pătrat (least square). Soluția cel mai mic pătrat este cea care minimizează norma lui Ax - b. Același lucru este valabil și pentru matricile nepătrate.

Exercițiul 8-6

Obiectiv: Să calculeze inversa unei matrici.

Veți construi un VI care calculează inversa unei matrici A. În plus, vă va calcula o matrice B, care este similară matricei A. O matrice B este similară cu o matrice A dacă există o matrice nesingulară T astfel încât B = T^-1AT astfel încât A și B să aibă aceleași eigenvalues. Veți verifica această definiție a matricilor similare.

1. Construiți panoul frontal așa cum se arată mai sus. Matricea A este o matrice reală 2x2. Matricea T este o matrice nesingulară 2x2 care va fi utilizată pentru a construi matricea similară B.

2. Construiți diagrama bloc așa cum se arată mai sus.

3. Reveniți pe panoul frontal și executați VI-ul. Verificați dacă eigenvalues ale lui A și matricea similară B sunt aceleași.

4. Salvați VI ca Matrix Inverse.vi și închideți-l.

Sfârșitul exercițiului 8-6

Exercițiul 8-7

Obiectiv: rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Multe aplicații practice necesită rezolvarea unui sistem de ecuații liniare. Un domeniu de aplicare foarte important este legat de apărarea militară. Aceasta include analiza dispersiei și a radiațiilor electromagnetice din ținte mari, analiza performanței cupolelor pentru antene radar și proiectarea vehiculelor aerospațiale cu secțiuni transversale reduse la radar (tehnologia stealth).

Un al doilea domeniu de aplicare este proiectarea și modelarea sistemelor de comunicații fără fir, cum ar fi telefoanele mobile. Această listă de aplicații continuă și de aceea este foarte important pentru dvs. să înțelegeți corect cum să utilizați VI-urile din biblioteca de analiză pentru a rezolva un sistem liniar de ecuații.

1. Folosiți Solve Linear Equations VI din subpaleta Analysis » Linear Algebra pentru a rezolva sistemul de ecuații Ax = b unde Matricea de intrare A și Vectorul cunoscut b sunt

Alegeți tipul matricei egal cu general.

2. Folosiți A x Vector.vi pentru a multiplica matricea A și vectorul x (ieșirea operației de mai sus) și verificați dacă rezultatul este egal cu vectorul b de mai sus.

3. Salvați VI-ul ca Linear System.vi și închideți-l.

Sfârșitul exercițiului 8-7

8.4 Factorizarea matricelor