Un sistem se numește liniar dacă are două proprietăți matematice: omogenitatea și aditivitatea. Dacă puteți arăta că un sistem are ambele proprietăți, atunci ați dovedit că sistemul este liniar. De asemenea, dacă puteți arăta că un sistem nu are una sau ambele proprietăți, ați dovedit că nu este liniar. A treia proprietate, invarianța schimbării, nu este o cerință strictă pentru liniaritate, dar este o proprietate obligatorie pentru majoritatea tehnicilor DSP. Când vedeți termenul de sistem liniar utilizat în DSP, ar trebui să presupuneți că include invarianța de schimbare dacă nu aveți motive să credeți altfel. Aceste trei proprietăți formează cum este definită și utilizată matematica teoriei sistemelor liniare. Mai târziu, în acest capitol vom examina modalități mai intuitive de a înțelege liniaritatea. Pentru moment, hai să trecem prin aceste proprietăți matematice formal.

Așa cum este ilustrat în figura 5-2, omogenitatea înseamnă că o schimbare a amplitudinii semnalului de intrare are ca rezultat o schimbare corespunzătoare a amplitudinii semnalului de ieșire. În termeni matematici, dacă un semnal de intrare x[n] are ca rezultat un semnal de ieșire y[n], o intrare kx[n] are ca rezultat o ieșire ky[n], pentru orice semnal de intrare și constantă k.

Figura 5-2 Definiția omogenității

Un sistem este omogen dacă o variație de amplitudine la intrare rezultă într-o variație identică de amplitudine la ieșire. Adică, dacă x[n] rezultă în y[n], atunci kx[n] rezultă în ky[n], pentru orice semnal x[n] ți orice constantă k.

Un rezistor simplu oferă un exemplu bun atât de sisteme omogene cât și neomogene. Dacă intrarea în sistem este tensiunea pe rezistor v(t), iar ieșirea din sistem este curentul prin rezistor i(t), sistemul este omogen. Legea lui Ohm garantează acest lucru; dacă tensiunea este crescută sau scăzută, va exista o creștere sau o scădere corespunzătoare a curentului. Acum, ia în considerare un alt sistem în care semnalul de intrare este tensiunea pe rezistență v(t), dar semnalul de ieșire este puterea care este disipată în rezistor p(t). Deoarece puterea este proporțională cu pătratul tensiunii, dacă semnalul de intrare este mărit cu un factor de doi, semnalul de ieșire crește cu un factor de patru. Acest sistem nu este omogen și, prin urmare, nu poate fi liniar.

Proprietatea aditivității este ilustrată în figura 5-3. Considerăm un sistem în care o intrare x1[n] produce o ieșire y1[n]. Mai mult, să presupunem că o intrare diferită, x₂[n], produce o altă ieșire, y₂[n]. Se spune că sistemul este aditiv, dacă o intrare x₁[n] + x₂[n] are ca rezultat o ieșire y₁[n] + y₂[n] pentru toate semnalele de intrare posibile. În cuvinte, semnalele adăugate la intrare produc semnale care sunt adăugate la ieșire.

Figura 5-3 Definiția aditivității

Un sistem este aditiv dacă adună semnalele ce trec prin el fără interacțiuni. Formal, dacă x1[n] rezultă în y1[n] și dacă x2[n] rezultă în y2[n], atunci x1[n] + x2[n] rezultă în y1[n] + y2[n].

Important este că semnalele adăugate trec prin sistem fără a interacționa. Ca exemplu, gândiți-vă la o conversație telefonică cu mătușa dvs. Edna și unchiul Bernie. Mătușa Edna începe o poveste destul de lungă despre cât de bine se fac ridichiile ei în acest an. În fundal, unchiul Bernie strigă la câine pentru că a avut un accident în scaunul său favorit. Cele două semnale vocale sunt adăugate și transmise electronic prin rețeaua telefonică. Deoarece acest sistem este aditiv, sunetul pe care îl auzi este suma celor două voci, așa cum ar suna dacă sunt transmise individual. Auzi pe Edna și pe Bernie, nu pe creatura Ednabernie.

Un bun exemplu de circuit neaditiv este etajul mixerului într-un emițător radio. Două semnale sunt prezente: un semnal audio care conține voce sau muzică și o undă purtătoare care se poate propaga prin spațiu atunci când este aplicată unei antene. Cele două semnale sunt adăugate și aplicate la o nonlinearitate, cum ar fi o diodă cu joncțiune pn. Acest lucru are ca rezultat semnalele care fuzionează pentru a forma un al treilea semnal, o undă radio modulată capabilă să transmită informația pe distanțe mari.

Așa cum este arătat în figura 5-4, invarianța de deplasare înseamnă că o deplasare a semnalului de intrare nu va avea drept rezultat decât o deplasare identică a semnalului de ieșire. În termeni mai formali, dacă un semnal de intrare x[n] are ca rezultat o ieșire y[n], un semnal de intrare x[n+s] are ca rezultat o ieșire y[n+s] pentru orice semnal de intrare și orice constantă s. Acordați o notă specială despre modul în care este scris matematic această deplasare, va fi utilizată în capitolele viitoare. Prin adăugarea unei constante s, la variabila independentă n, forma de undă poate fi avansată sau întârziată în direcția orizontală. De exemplu, atunci când s = 2, semnalul este mutat stânga cu două eșantioane; atunci când s = -2, semnalul este deplasat dreapta cu două eșantioane.

Figura 5-4 Definiția invarianței de deplasare

Un sistem este invariant în deplasare dacă o deplasare în semnalul de intrare cauzează o deplasare identică în semnalul de ieșire. În termeni matematici, dacă x[n] produce y[n], atunci x[n+s] produce y[n+s], pentru orice semnal x[n] și orice constantă s.

Invarianța deplasării este importantă deoarece înseamnă că sistemul nu schimbă caracteristicile odată cu timpul (sau oricare ar fi variația independentă). Dacă un blip din intrare cauzează un blop în ieșire, puteți fi sigur că un alt blip va provoca un blop identic. Majoritatea sistemelor pe care le întâlniți vor fi shift invariant. Acest lucru este norocos, deoarece este dificil să se facă față sistemelor care își schimbă caracteristicile în timp ce funcționează. De exemplu, imaginați că ați proiectat un filtru digital pentru a compensa efectele degradante ale unei linii telefonice de transmisie. Filtrul dvs. face ca vocile să fie mai naturale și mai ușor de înțeles. Spre surprinderea dvs., de-a lungul iernii, veți găsi cum caracteristicile liniei telefonice s-au schimbat odată cu temperatura. Filtrul dvs.de compensare este acum necorespunzător și nu funcționează foarte bine. Această situație poate necesita un algoritm mai sofisticat care să se poată adapta condițiilor în schimbare.

De ce omogenitatea și aditivitatea joacă un rol critic în liniaritate, în timp ce invarianța deplasării este ceva de partea ei? Acest lucru se datorează faptului că liniaritatea este un concept foarte larg, cuprinzând mult mai mult decât semnale și sisteme. De exemplu, luați în considerare un agricultor care vinde portocale pentru 2 dolari pe cutie și mere pentru 5 dolari pe cutie. Dacă agricultorul vinde doar portocale, el va primi 20 de dolari pentru 10 lăzi și 40 de dolari pentru 20 de cutii, făcând schimbul omogen. Dacă vinde 20 de cutii de portocale și 10 lăzi de mere, fermierul va primi: 90 de dolari. Aceasta este aceeași sumă ca și când cele două ar fi fost vândute individual, făcând aditivă tranzacția. Fiind atât omogenă cât și aditivă, această vânzare de bunuri este un proces liniar. Totuși, deoarece nu există semnale implicate, acesta nu este un sistem, și invarianța deplasării nu are nici un sens. Invarianța deplasării poate fi considerată ca un aspect suplimentar de linearitate necesar atunci când sunt implicate semnale și sisteme.

Secțiunea următoare: Liniaritate statică și fidelitate sinusoidală