Numerele complexe găsesc o nișă în electronică și procesarea semnalului, deoarece sunt o modalitate compactă de a reprezenta și manipula cea mai utilă dintre toate formele de undă: undele sinus și cosinus. Modul convențional de a reprezenta o sinusoidă este: Mcos(ωt + ϕ) sau Acos(ωt) + Bsin(ωt), în notare polară și, respectiv, dreptunghiulară. Observați că reprezentăm frecvența cu ω, frecvența naturală în radiani pe secundă. Dacă vă face mai confortabil, puteți înlocui fiecare ω cu 2πf pentru a face expresiile în hertz. Dar, majoritatea matematicii DSP este scrisă folosind notația mai scurtă și ar trebui să vă familiarizați cu ea. Deoarece necesită doi parametri pentru a reprezenta o singură sinusoidă (adică, A & B sau M & ϕ), utilizarea unor numere complexe pentru a reprezenta aceste forme de undă importante este una naturală. Folosind substituția, trecerea de la reprezentarea sinusoidală convențională la un număr complex este simplă. În formă dreptunghiulară:

unde A ↔ a și B ↔ - b. Cu alte cuvinte, amplitudinea undei cosinus devine partea reală a numărului complex, în timp ce

negativul amplitudinii undei sinusoidale devine partea imaginară. Este important să înțelegem că aceasta nu este o ecuație, ci doar o modalitate de a lăsa un număr complex să reprezinte o sinusoidă. Această substituție poate fi aplicată și sub formă polară:

unde M ↔ My și ϴ ↔ - ϕ. În cuvinte, substituția în notație polară lasă magnitudinea aceeași, dar schimbă semnul unghiului de fază.

De ce se schimbă semnul părții imaginare și unghiului de fază? Aceasta se face ca substituția să apară sub aceeași formă ca și transformata Fourier complexă descrisă în capitolul următor. Tehnicile de substituție ale acestui capitol nu câștigă nimic din această schimbare a semnului, dar se face aproape întotdeauna pentru a menține lucrurile în concordanță cu metodele mai avansate.

Utilizarea numerelor complexe pentru a reprezenta undele sinus și cosinus este o tehnică comună în analiza circuitului electric și DSP. Acest lucru se datorează faptului că multe (dar nu toate) din regulile și legile care reglementează numerele complexe sunt aceleași cu cele care guvernează sinusoidele. Cu alte cuvinte, putem reprezenta undele sinus și cosinus cu numere complexe, să manipulăm numerele în diverse moduri și să facem ca răspunsul rezultat să se potrivească cu modul în care se comportă sinusoidele.

Dar, trebuie să fim atenți să utilizăm doar acele operații matematice care imită problema fizică reprezentată (sinusoidele în acest caz). De exemplu, să presupunem că folosim variabilele complexe, A și B pentru a reprezenta două sinusoide cu aceeași frecvență, dar cu amplitudini și defazaje diferite. Când se adună cele două numere complexe, un al treilea număr complex este produs. De asemenea, se creează o a treia sinusoidă când se adună cele două sinusoide. După cum ați spera, al treilea număr complex reprezintă a treia sinusoidă. Adunarea complexă se potrivește cu sistemul fizic.

Acum, imaginați-vă că multiplicați numerele complexe A și B și rezultă un alt număr complex. Se potrivește acest lucru cu ce se întâmplă când se înmulțesc cele două sinusoide? Nu! Înmulțirea a două sinusoide nu produce o altă sinusoidă. Înmulțirea complexă nu se potrivește cu sistemul fizic și, prin urmare, nu poate fi utilizată.

Din fericire, operațiile valide sunt clar definite. Trebuie îndeplinite două condiții. În primul rând, toate sinusoidele trebuie să fie la aceeași frecvență. De exemplu, dacă numerele complexe: 1 + 1j și 2 + 2j reprezintă sinusoide la aceeași frecvență, atunci suma celor două sinusoide este reprezentată de numărul complex: 3 + 3j. Dar, dacă 1 + 1j și 2 + 2j reprezintă sinusoide cu frecvențe diferite, nu se poate face nimic cu reprezentarea complexă. În acest caz, suma numerelor complexe, 3 + 3j, nu are sens.

În ciuda acestui fapt, frecvența poate fi lăsată ca o variabilă atunci când se utilizează numere complexe, dar trebuie să fie aceeași frecvență peste tot. De exemplu, este perfect valid să adăugați: 2ω+3ωj și 3ω+1j, pentru a produce: 5ω+ (3ω+1)j. Acestea reprezintă sinusoide în care amplitudinea și faza variază pe măsură ce frecvența se schimbă. Deși nu știm care este frecvența particulară, știm că așa este la fel peste tot, adică ω.

A doua cerință este ca operațiunile reprezentate să fie liniare, așa cum este discutat în capitolul 5. De exemplu, sinusoidele pot fi combinate prin adunare și scădere, dar nu prin înmulțire sau divizare. De asemenea, sistemele pot fi amplificatoare, atenuatoare, filtre trece-sus sau -jos, etc., dar nu acțiuni precum: ridicarea la pătrat, limitare prin tăiere și prag. Nu uitați, chiar și convoluția și analiza Fourier sunt valabile doar pentru sisteme liniare.