Transformata Fourier Discretă în timp (DTFT) este membrul familiei de transformate Fourier care operează pe semnale aperiodice, discrete. Cea mai bună modalitate de a înțelege DTFT este modul în care se referă la DFT. Pentru a începe, imaginați-vă că achiziționați un semnal de N eșantioane și doriți să găsiți spectrul de frecvențe. Prin utilizarea DFT, semnalul poate fi descompus în unde sinus și cosinus, cu frecvențe egale distanțate între zero și jumătate din rata de eșantionare. Cum s-a discutat în ultimul capitol, umplerea semnalului din domeniu timp cu zerouri face perioada din domeniul timp mai lungă, precum si realizarea spațierii dintre eșantioane în domeniul frecvență mai restrânsă. Când N se apropie de infinit, domeniul timp devine aperiodic, iar domeniul frecvență devine un semnal continuu. Aceasta este DTFT, transformata Fourier care se referă la un semnal discret, aperiodic cu spectru de frecvență continuu, periodic.

Matematica DTFT poate fi înțeleasă pornind de la ecuațiile de sinteză și analiză pentru DFT (Ecuațiile 8-2, 8-3 și 8-4) și luând N la infinit:

Există multe detalii subtile în aceste relații. În primul rând, semnalul din domeniul timp, x[n], este încă discret și, prin urmare, este reprezentat prin paranteze mari. În comparație, semnalele din domeniu frecvență, ReX(ω) & ImX(ω), sunt continue și deci scrise cu paranteze mici. Deoarece domeniul frecvență este continuu, ecuația de sinteză trebuie să fie scrisă ca o integrală, mai degrabă decât o însumare.

Așa cum sa discutat în Capitolul 8, frecvența este reprezentată în domeniul frecvență al DFT cu una din cele trei variabile: k, un indice ce rulează de la 0 la N/2; f, fracțiunea din rata de eșantionare, care rulează de la 0 la 0,5; sau ω, fracțiunea din rata de eșantionare exprimată ca o frecvență naturală, care rulează de la 0 la π. Spectrul DTFT este continuu, deci fie f sau ω pot fi utilizate. Alegerea comună este ω, deoarece face ca ecuațiile să fie mai scurte prin eliminarea factorului întotdeauna prezent de 2π. Amintiți-vă, atunci când ω este utilizat, spectrul de frecvență se extinde de la 0 la π, ceea ce corespunde de la DC la jumătate din rata de eșantionare. Pentru a face lucrurile și mai complicate, mulți autori folosesc Ω (litera mare omega) pentru a reprezenta această frecvență în DTFT, mai degrabă decât ω (litera mică omega).

La calcularea DFT inversă, eșantioanele 0 și N/2 trebuie împărțite cu doi (Ec. 8-3) înainte ca sinteza să poată fi efectuată (Ec. 8-2). Acest lucru nu este necesar cu DTFT. După cum vă amintiți, această acțiune în DFT este legată de spectrul de frecvență definit ca o densitate spectrală, adică amplitudinea pe unitate de lățime de bandă. Atunci când spectrul devine continuu, tratamentul special al punctelor finale dispare. Totuși, există încă un factor de normalizare care trebuie inclus, 2/N în DFT (Ec. 8-3) devine 1/π în DTFT (Ec. 10-2). Unii autori plasează acești termeni în fața ecuației de sinteză, în timp ce alții îi plasează în fața ecuaţiei de analiză. Să presupunem că începeți cu un semnal din domeniu timp. După aplicarea Transformatei Fourier și apoi a Transformatei Fourier Inverse, doriți să sfârșiți cu ceea ce ați început. Adică, termenul 1/π (sau termenul 2/N) trebuie să fie întâlnit undeva de-a lungul drumului, fie în transformata directă, fie în cea inversă. Unii autori chiar împart termenul între cele două transformate plasând 1/√π în fața celor două.

Deoarece DTFT implică însumări și integrale infinite, nu poate fi calculată cu un calculator digital. Utilizarea sa principală este în probleme teoretice ca o alternativă la DFT. De exemplu, să presupunem că doriți să găsiți răspunsul în frecvență al unui sistem de la răspunsul la impuls. Dacă răspunsul la impuls este cunoscut ca o serie de numere, așa cum ar putea fi obținut dintr-o măsurătoare experimentală sau simulare pe calculator, un program DFT este rulat pe un computer. Aceasta oferă spectrul de frecvență ca o altă serie de numere, egal distanțate între 0 și 0,5 din rata de eșantionare.

În alte cazuri, răspunsul la impuls ar putea fi cunoscut ca o ecuație, cum ar fi o funcție sinc sau o sinusoidă care scade exponențial. DTFT este folosită aici pentru a calcula matematic domeniul frecvență ca o altă ecuație, specificând întreaga curbă continuă între 0 și 0,5. În timp ce DFT ar putea fi, de asemenea, utilizat pentru acest calcul, ar oferi doar o ecuație pentru eșantioanele răspunsului în frecvență, nu întreaga curbă.

Secțiunea următoare: Relația lui Parseval