Figura 11-4 ilustrează o pereche comună de transformate: impulsul dreptunghiular și funcția sinc. Funcția sinc este definită ca: sinc(a) = sin(πa)/(πa), cu toate acestea, este obișnuit a se vedea afirmația vagă: „funcția sinc este de forma generală: sin(x)/x.“ Cu alte cuvinte, sinc este o undă sinus care scade în amplitudine ca 1/x. În (a), pulsul dreptunghiular este centrat simetric pe eșantionul zero, făcând jumătate din puls pe dreapta graficului, iar cealaltă jumătate pe stânga. Acest lucru apare la DFT ca un singur impuls din cauza periodicității domeniului timp. DFT al acestui semnal este prezentată în (b) și (c), cu versiunea nedesfășurată în (d) și (e).

Priviți în primul rând spectrul nedesfășurat (d) și (e). Magnitudinea nedesfășurată este o oscilație care scade în amplitudine odată cu creșterea frecvenței. Faza este compusă toată din zerouri, așa cum ar trebui să vă așteptați pentru un semnal din domeniu timp care este simetric în jurul eșantionului cu număr zero. Folosim termenul de magnitudine nedesfășurată pentru a indica faptul că poate avea valori atât pozitive, cât și negative. Prin definiție, magnitudinea trebuie să fie întotdeauna pozitivă. Acest lucru este arătat în (b) și (c) în cazul în care magnitudinea este făcută total pozitivă prin introducerea unei deplasări de fază de π la toate frecvențele unde magnitudinea nedesfășurată este negativă în (d).

În (f), semnalul este deplasat astfel încât să apară ca un impuls continuu, dar nu mai este centrat pe eșantionul cu număr zero. În timp ce acest lucru nu schimbă magnitudinea domeniului frecvență, el adaugă o componentă liniară la fază, făcându-l o încurcătură jalnică. Cum arată spectrul de frecvență ca părți reală și imaginară? Prea confuz să îți faci griji.

Un semnal de N puncte din domeniul timp, care conține un impuls dreptunghiular de amplitudine unitate cu lățime de M puncte, are un spectru de frecvență DFT dat de:

Figura 11-3 DFT a unui impuls dreptunghiular.
Un impuls dreptunghiular într-un domeniu corespunde la o funcție sinc în celălalt domeniu.

Alternativ, DTFT poate fi folosită pentru a exprima spectrul de frecvență ca o fracție a ratei de eșantionare, f:

Cu alte cuvinte, Ec. 11-1 furnizează N/2+ 1 eșantioane în spectrul de frecvență, în timp ce Ec. 11-2 furnizează curba continuă pe care se află eșantioanele. Aceste ecuații oferă doar magnitudinea. Faza este determinată numai de poziționarea stânga-dreapta a formei de undă din domeniul timp, după cum s-a discutat în ultimul capitol.

Observați în figura 11-3b că amplitudinea oscilației nu scade la zero înainte de atingerea unei frecvențe de 0,5. După cum ar trebui să suspectezi, forma de undă continuă în următoarea perioadă în care este dedublată (aliased) . Aceasta schimbă forma domeniului frecvență, un efect care este inclus in Ec. 11-1 și 11-2.

Este adesea important să înțelegeți cum arată spectrul de frecvență atunci când aliasing-ul nu este prezent. Acest lucru se datorează faptului că semnalele discrete sunt deseori folosite pentru a reprezenta sau pentru a modela semnale continue, iar semnalele continue nu se dedublează. Pentru a elimina aliasing-ul în Ec. 11-1 și 11-2, schimbați numitorii de la sin(πk/N) la πk/N și de la sin(πf) la πf, respectiv. Figura 11-4 prezintă importanța acestui lucru. Cantitatea πf poate rula numai de la 0 la 1,5708, deoarece f poate rula doar de la 0 la 0,5. În acest interval, nu există o mare diferență între sin(πf) și πf. La frecvența zero au aceeași valoare, iar la o frecvență de 0,5 există doar o diferență de 36%. Fără aliasing, curba din figura 11-3b ar arăta o amplitudine ușor mai mică lângă partea dreaptă a graficului și nici o schimbare lângă partea stângă.

Când spectrul de frecvențe al impulsului dreptunghiular nu este dedublat (aliased) (deoarece semnalul din domeniul timp este continuu sau pentru că ignorați aliasing), el are forma generală: sin(x)/x, adică o funcție sinc. Pentru semnale continue, impulsul dreptunghiular și funcția sinc sunt perechi de transformate Fourier. Pentru semnalele discrete, aceasta este doar o aproximație, eroarea fiind datorată aliasing-ului.

Funcția sinc are o problemă enervantă la x = 0, unde sin(x)/x devine zero împărțit la zero. Aceasta nu este o problemă matematică dificilă; pe măsură ce x devine foarte mic, se apropie de valoarea lui sin(x) (vezi figura 11-4).

Aceasta transformă funcția sinc în x/x, care are o valoare de unu. Cu alte cuvinte, pe măsură ce x devine mai mic și mai mic, valoarea se apropie de unu, care include sinc(0) = 1. Acum încearcă să spui asta computerului tău! Tot ceea ce vede este o împărțire cu zero, determinându-l să oprească programul tău. Important de reținut este că programul dvs. trebuie să includă manevrarea specială la x = 0 când se calculează funcția sinc.

O trăsătură cheie a funcției sinc este localizarea trecerilor prin zero. Acestea apar la frecvențe în care un număr întreg de cicluri sinusoidale se potrivesc uniform în impulsul dreptunghiular. De exemplu, dacă impulsul dreptunghiular este lat de 20 de puncte, primul zero în domeniul frecvență este la frecvența care face un ciclu complet în 20 de puncte. Al doilea zero este la frecvența care face două cicluri complete în 20 de puncte etc. Acest lucru poate fi înțeles prin amintirea modului în care DFT este calculată prin corelație. Amplitudinea unei componente de frecvență se găsește prin înmulțirea semnalului din domeniul timp cu o sinusoidă și adunarea eșantioanelor rezultate. Dacă forma de undă din domeniul timp este un impuls dreptunghiular de amplitudine unitate, aceasta este aceeași cu adunarea eșantioanelor sinusoidelor care se află în interiorul impulsului dreptunghiular. Dacă această însumare are loc peste un număr integral al ciclurilor sinusoidelor, rezultatul va fi zero.

Funcția sinc este folosită pe scară largă în DSP deoarece este perechea transformatei Fourier a unei forme de undă foarte simple, impulsul dreptunghiular. De exemplu, funcția sinc este utilizată în analiza spectrală, așa cum este discutat în Capitolul 9. Luați în considerare analiza unui semnal discret infinit de lung. Deoarece DFT poate lucra numai cu semnale de lungime finită, sunt selectate N eșantioane pentru a reprezenta semnalul mai lung. Cheia aici este aceea că "selectarea a N eșantioane dintr-un semnal mai lung" este aceeași cu înmulțirea semnalului mai lung cu un impuls dreptunghiular. Unitățile din impulsul dreptunghiular păstrează eșantioanele corespunzătoare, în timp ce zerourile le elimină. Cum afectează acest lucru spectrul de frecvență al semnalului? Multiplicarea domeniului timp printr-un impuls dreptunghiular duce la domeniul frecvență în convoluție cu o funcție sinc. Aceasta reduce rezoluția spectrului de frecvență, cum s-a arătat anterior în fig. 9-5a.

Secțiunea următoare: Alte perechi de transformate