La fel ca în cazul semnalelor discrete, convoluția semnalelor continue poate fi văzută de la semnalul de intrare sau semnalul de ieșire. Punctul de vedere al părții de intrare este cea mai bună descriere conceptuală a cum funcționează convoluția. În comparație, punctul de vedere al părții de ieșire descrie matematica care trebuie utilizată. Aceste descrieri sunt practic identice cu cele prezentate în capitolul 6 pentru semnale discrete.

Figura 13-2 arată cum se vede convoluția dinspre partea de intrare. Un semnal de intrare, x(t), este trecut printr-un sistem caracterizat printr-un răspuns la impuls, h(t), pentru a produce un semnal de ieșire y(t). Acest lucru poate fi scris în ecuația matematică familiară, y(t) = x(t) * h(t). Semnalul de intrare este împărțit în coloane înguste, fiecare suficient de scurt pentru a acționa ca un impuls la sistem. Cu alte cuvinte, semnalul de intrare este descompus într-un număr infinit de funcții delta scalate și deplasate. Fiecare dintre aceste impulsuri produce o versiune scalată și deplasată a răspunsului la impuls în semnalul de ieșire. Semnalul final de ieșire este apoi egal cu efectul combinat, adică suma tuturor răspunsurilor individuale.

Pentru ca această schemă să funcționeze, lățimea coloanelor trebuie să fie mult mai scurtă decât răspunsul sistemului. Desigur, matematicienii iau acest lucru la extrem, făcând segmentele de intrare infinitezimal de înguste, transformând situația într-o problemă de calcul. În acest mod, punctul de vedere al intrării descrie cum un singur punct (sau regiunea îngustă) din semnalul de intrare afectează o porțiune mai mare a semnalului de ieșire.

În comparație, punctul de vedere al ieșirii examinează cum un singur punct din semnalul de ieșire este determinat de diferitele valori de la semnalul de intrare. La fel ca la semnalele discrete, fiecare valoare instantanee a semnalului de ieșire este afectată de o secțiune a semnalului de intrare, ponderată de răspunsul la impuls inversat stânga-dreapta. În cazul discret, semnalele sunt multiplicate și însumate. În cazul continuu, semnalele sunt multiplicate și integrate.

În forma unei ecuații:

Această ecuație este numită integrala convoluției și este geamăna sumei convoluției (Ec.6-1) folosită cu semnale discrete. Figura 13-3 arată cum poate fi înțeleasă această ecuație. Scopul este de a găsi o expresie pentru calcularea valorii semnalului de ieșire la un moment arbitrar, t. Primul pas este schimbarea variabilei independente utilizate pentru a trece prin semnalul de intrare și răspunsul la impuls. Adică înlocuim t cu τ (Tau grecesc cu litere mici).

Figura 13.2 Convoluția văzută de pe partea intrării.
Semnalul de intrare x(t) este divizat în segmente înguste, fiecare acționând ca un impuls la sistem. Semnalul de ieșire y(t) este suma răspunsurilor la impuls scalate și deplasate, rezultate. Această ilustrație prezintă cum trei puncte din semnalul de intrare contribuie la semnalul de ieșire.

Aceasta face ca x(t) și h(t) să devină x(τ) și h(τ), respectiv. Această modificare a numelor de variabile este necesară deoarece t este deja utilizată pentru a reprezenta punctul în semnalul de ieșire calculat. Următorul pas este inversarea răspunsului la impuls stânga-dreapta, transformându-l în h(-τ). Deplasând răspunsul la impuls inversat la locația t, rezultă expresia h(t-τ). Semnalul de intrare este apoi ponderat prin răspunsul la impuls inversat și deplasat prin înmulțirea celor două, adică x(τ) h(t-τ). Valoarea semnalului de ieșire este apoi găsită prin integrarea acestui semnal de intrare ponderat de la minus infinit la plus infinit, așa cum este descris de Ec. 13-1.

Dacă aveți probleme cu înțelegerea modului în care funcționează, reveniți și revedeți aceleași concepte pentru semnale discrete în capitolul 6. Fig. 13-3 este doar o altă modalitate de a descrie mașina de convoluție din fig. 6-8. Singura diferență este că se folosesc integrale în loc de însumare. Tratați-o ca o extensie a ceea ce deja știi, nu ca ceva nou.

Figura 13-3 Convoluția văzută de pe partea de ieșire.

Fiecare valoare din semnalul de ieșire este influențată de multe puncte din semnalul de intrare. În această figură, semnalul de ieșire este calculat la timpul t. Semnalul de intrare x(τ) este ponderat (multiplicat) de răspunsul la impuls scalat și deplasat, dat de h(t-τ). Integrarea și ponderarea semnalului de intrare produce valoarea punctului de ieșire y(t).

Figura 13-4 Exemplu de sistem liniar continuu.
Acest circuit electronic este un filtru trece-jos compus din rezistor și condensator. Răspunsul la impuls al acestui sistem este o exponențială unilaterală.

Un exemplu va ilustra modul în care convoluția continuă este folosită în problemele din lumea reală și matematica necesară. Fig. 13-4 prezintă un sistem liniar continuu simplu: un filtru electronic trece-jos compus dintr-un rezistor și un condensator. Așa cum se arată în figură, un impuls care intră în acest sistem produce o ieșire care sare rapid la o anumită valoare și apoi scade exponențial spre zero. Cu alte cuvinte, răspunsul la impuls al acestui circuit electronic simplu este un exponențial unilateral. Din punct de vedere matematic,răspunsul la impuls al acestui sistem este împărțit în două secțiuni, fiecare reprezentat de o ecuație:

unde α = 1/RC (R este în ohmi, C este în farazi și t este în secunde). La fel ca în cazul discret, răspunsul la impuls continuu conține informații complete despre sistem, și anume modul în care va reacționa la toate semnalele posibile. Pentru a continua acest exemplu, Fig. 13-5 arată un impuls pătrat care intră în sistem, exprimat matematic prin:

Deoarece atât semnalul de intrare cât și răspunsul la impuls sunt complet cunoscute ca expresii matematice, semnalul de ieșire, y(t), poate fi calculat prin evaluarea integralei convoluției a Ec. 13-1. Acest lucru este complicat de faptul că ambele semnale sunt definite de regiuni mai degrabă decât de o singură expresie matematică.

Figura 13-5 Exemplu de convoluție continuă.

Această figură ilustrează un impuls pătrat ce intră într-un filtru trece-jos RC (fig. 13-4). Impulsul pătrat este în convoluție cu răspunsul la impuls al sistemului pentru a produce ieșirea.

Figura 13-6 Calcularea unei convoluții pe segmente.

Deoarece multe semnale continue sunt definite pe regiuni, calcularea convoluției poate fi realizată regiune-cu-regiune. În acest exemplu, calcularea semnalului de ieșire este împărțită în trei secțiuni: (a) fără suprapunere, (b) suprapunere parțială și (c) suprapunere totală a semnalului de intrare și a răspunsului la treaptă deplasat-scalat.

Acest lucru este foarte frecvent în procesarea semnalelor continue. Este de obicei esențial să desenați o imagine a modului în care cele două semnale se deplasează una peste cealaltă pentru diferite valori ale lui t. În acest exemplu, figura 13-6a arată că cele două semnale nu se suprapun deloc. Aceasta înseamnă că produsul celor două semnale este zero în toate locațiile de-a lungul axei τ, iar semnalul de ieșire rezultat este:

Un al doilea caz este ilustrat în (b), unde t este între 0 și 1. Aici, cele două semnale se suprapun parțial, rezultând produsul lor având valori nonzero între τ = 0 și τ = t. Deoarece aceasta este singura regiune nonzero, aceasta este singura secțiune în care trebuie evaluată integrala. Aceasta asigură semnalul de ieșire pentru 0 ≤ t ≤ 1, dat de:

Figura (c) arată calculul pentru cea de-a treia secțiune a semnalului de ieșire, unde t > 1. În acest caz, suprapunerea are loc între τ = 0 și τ = 1, făcând calculul aceleași ca pentru al doilea segment, cu excepția unei modificări la limitele integrării:

Forma de undă în fiecare dintre aceste trei segmente ar trebui să fie de acord cu cunoștințele dvs. despre electronică: (1) Semnalul de ieșire trebuie să fie zero până când semnalul de intrare devine nonzero. Adică, primul segment este dat de y(t) = 0 pentru t < 0. (2) Când apare treapta, circuitul RC crește exponențial pentru a egala intrarea, conform ecuației: y(t) = 1- e^-αt. (3) Când intrarea revine la zero, ieșirea scade exponențial spre zero, dată de ecuația: y(t) = ke^-αt (unde k = e^α - 1, tensiunea pe condensator chiar înainte de începerea descărcării).

Formele de undă mai complicate pot fi manevrate în același mod, deși complexitatea matematică poate deveni rapid imposibil de gestionat. Când vă confruntați cu o problemă neplăcută de convoluție continuă, trebuie să petreceți timp semnificativ de evaluare a strategiilor pentru rezolvarea problemei. Dacă începeți orbește evaluările integralelor, probabil că veți ajunge la o încurcătură matematică. O strategie comună este de a sparge unul din semnale în componente aditive mai simple care pot fi în convoluție individual. Folosind principiile de linearitate, formele de undă rezultate pot fi adunate pentru a găsi răspunsul la problema inițială.

Figura 13-7 prezintă o altă strategie: modificați unul din semnale în mod liniar, efectuați convoluția și apoi anulați modificarea originală. În acest exemplu, modificarea este derivata și este anulată făcând integrala. Derivata unui impuls pătrat de amplitudine unitară este formată din două impulsuri, primul cu o arie 1, iar cel de-al doilea cu o arie -1. Pentru a înțelege acest lucru, gândiți-vă la procesul opus de aplicare a integralei celor două impulsuri. Deoarece integrați trecutul primului impuls, integrala crește rapid de la zero la unu, adică o funcție treaptă. După trecerea impulsului negativ, integrala semnalului revine repede de la un unu înapoi la zero, completând impulsul pătrat.

Aplicarea derivatei simplifică această problemă, deoarece convoluția este ușoară atunci când unul din semnale este compus din impulsuri. Fiecare dintre cele două impulsuri în x'(t) contribuie cu o versiune scalată și deplasată a răspunsului la impuls la derivata semnalului de ieșire, y'(t). Adică, prin inspecție se știe că: y'(t) = h(t) - h(t - 1). Semnalul de ieșire, y(t), poate fi apoi găsit prin introducerea în ecuația exactă pentru h(t) și integrarea expresiei.

Figura 13-7 O strategie pentru semnale în convoluție.

Problemele convoluției pot fi adesea simplificate prin utilizarea inteligentă a regulilor de guvernare a sistemelor liniare. În acest exemplu, convoluția a două semnale este simplificată prin efectuarea unei derivate a unuia dintre ele. După realizarea convoluției, derivata este inversată prin efectuarea integralei.

O ușoară neplăcere în această procedură este aceea că valoarea DC a semnalului de intrare este pierdută atunci când se face derivata. Aceasta poate duce la o eroare a valorii DC a semnalului de ieșire calculat. Matematica reflectă aceasta ca o constantă arbitrară care poate fi adăugată în timpul integrării. Nu există un mod sistematic de identificare a acestei erori, dar poate fi, de obicei, corectată prin inspecția problemei. De exemplu, nu există nici o eroare DC în exemplul din fig. 13-7. Acest lucru este cunoscut deoarece semnalul de ieșire calculat are valoarea DC corectă când t devine foarte mare. Dacă există o eroare într-o anumită problemă, se adaugă manual un termen DC corespunzător la semnalul de ieșire pentru a finaliza calculul.

Această metodă funcționează, de asemenea, pentru semnale care pot fi reduse la impulsuri prin aplicarea derivatei de mai multe ori. În jargonul domeniului, aceste semnale sunt numite polinomiale pe porțiuni. După convoluție, operarea inițială a multiplelor derivate este anulată prin aplicarea mai multor integrale. Singurul inconvenient este că valoarea pierdută DC trebuie găsită în fiecare etapă prin găsirea constantei corecte de integrare.

Înainte de a începe o problemă dificilă de convoluție continuă, există o altă abordare pe care ar trebui să o luați în considerare. Puneți-vă întrebarea: Este o expresie matematică necesară pentru semnalul de ieșire sau este suficient un grafic al formei de undă? Dacă un grafic este adecvat, ar fi mai bine să rezolvați problema cu tehnici discrete. Adică, se aproximează semnalele continue prin eșantioane care pot fi în convoluție direct de un program de calculator. Deși nu este matematică pur, poate fi mult mai ușor.

Secțiunea următoare: Transformata Fourier