Am introdus transformata Laplace în termeni grafici, descriind cum arată formele de undă și modul în care sunt manipulate. Acesta este cel mai intuitiv mod de a înțelege abordarea, dar este foarte diferit de modul în care este folosită real. Transformata Laplace este în mod inerent o tehnică matematică; este folosită prin scrierea și manipularea ecuațiilor. Problema este că te poți pierde ușor în natura abstractă a algebrei complexe și să pierzi toate conexiunile cu lumea reală. Sarcina este să îmbinați cele două vizualizări împreună. Transformata Laplace este metoda principală pentru analiza circuitelor electrice. Rețineți că orice sistem guvernat de ecuații diferențiale poate fi manipulat la fel; circuitele electrice sunt doar un exemplu pe care îl folosim.

Abordarea forței brute este de a rezolva ecuațiile diferențiale care controlează sistemul, oferind răspunsul la impuls al sistemului. Răspunsul la impuls poate fi apoi convertit în domeniul-s prin Ec. 32-1. Din fericire, există o modalitate mai bună: transformați fiecare componentă individuală în domeniul-s, și apoi luați în calcul modul în care interacționează. Aceasta este asemănătoare cu transformarea fazorială prezentată în Capitolul 30, unde rezistoarele, inductoarele și condensatoarele sunt reprezentate de R, jωL și, respectiv, 1/jωC. În transformata Laplace, rezistoarele, inductoarele și condensatoarele devin variabile complexe: R, sL și 1/sC. Observați că transformata fazorială este un subset al transformatei Laplace. Adică atunci când σ este setat la zero în s = σ + jω, R devine R, sL devine jωL, iar 1/sC devine 1/jωC.

La fel ca în capitolul 30, vom trata fiecare dintre cele trei componente ca un sistem individual, forma de undă curent fiind semnalul de intrare, iar forma de undă tensiune fiind semnalul de ieșire. Când spunem că rezistoarele, inductoarele și condensatoarele devin R, sL și 1/sC în domeniul-s, aceasta se referă la ieșirea împărțită la intrare. Cu alte cuvinte, transformata Laplace a formei de undă tensiune împărțită prin transformata Laplace a formei de undă curent este egală cu aceste expresii.

Ca un exemplu în acest sens, imaginați-ne că forțăm curentul printr-un inductor să fie o undă cosinus cu amplitudine unitate cu o frecvență dată de ωo. Forma de undă tensiune rezultată pe inductor poate fi găsită prin rezolvarea ecuației diferențiale care guvernează funcționarea sa:

Dacă pornim forma de undă curent la t = 0, forma de undă tensiune va porni, de asemenea, în același timp (adică, i(t)=0 și v(t)=0 pentru t < 0). Aceste forme de undă de tensiune și curent sunt convertite în domeniul-s de către Ec. 32-1:

Pentru a completa acest exemplu, vom împărți tensiunea din domeniul-s la curentul din domeniul-s, la fel ca și cum am folosi legea lui Ohm (R = V/I):

Constatăm că reprezentarea în domeniul-s a tensiunii pe inductor, împărțită la reprezentarea în domeniul-s a curentului prin inductor, este egală cu sL. Acesta este întotdeauna cazul, indiferent de forma de undă a curentului cu care începem. Într-un mod similar, raportul dintre tensiunea din domeniul-s și curentul din domeniul-s este întotdeauna egal cu R pentru rezistoare și 1/sC pentru condensatoare.

Figura 32-6 prezintă un exemplu de circuit pe care îl vom analiza cu transformata Laplace, filtrul de crestătură RLC discutat în Capitolul 30. Deoarece această analiză este aceeași pentru toate circuitele electrice, o vom prezenta în pași.

Pasul 1. Transformați fiecare componentă în domeniul-s. Cu alte cuvinte, înlocuiți valoarea fiecărui rezistor cu R, fiecare inductor cu sL și fiecare condensator cu 1/sC. Acest lucru este prezentat în Fig. 32-6.

Pasul 2: Găsiți H(s), ieșirea împărțită la intrare. După cum este descris în capitolul 30, acest lucru se realizează tratând fiecare componentă ca și cum ar respecta legea lui Ohm, cu „rezistențele” date de: R, sL și 1/sC. Aceasta ne permite să utilizăm ecuațiile standard pentru rezistoare în serie, rezistoare în paralel, divizoare de tensiune, etc. Tratând circuitul RLC în acest exemplu ca divizor de tensiune (la fel ca în Capitolul 30), H(s) se găsește:

Din analiza Fourier, spectrul de frecvență al semnalului de ieșire împărțit la spectrul de frecvență al semnalului de intrare este egal cu răspunsul în frecvență al sistemului, dat de simbolul H(ω). Ecuația de mai sus este o extensie a acestuia în domeniul-s. Semnalul H(s) se numește funcția de transfer a sistemului și este egal cu reprezentarea în domeniul-s a semnalului de ieșire împărțit la reprezentarea în domeniul-s a semnalului de intrare. În plus, H(s) este egal cu transformata Laplace a răspunsului la impuls, la fel cum H(ω) este egal cu transformata Fourier a răspunsului la impuls.

Până acum, aceasta este identică cu tehnicile din ultimul capitol, cu excepția utilizării s în loc de jω. Diferența dintre cele două metode este ceea ce se întâmplă din acest moment. Aceasta este cât de departe putem merge cu jω. S-ar putea să trasăm răspunsul în frecvență sau să îl examinăm într-un alt mod; dar, acesta este un punct mort matematic. În comparație, aspectele interesante ale transformatei Laplace abia au început. Găsirea H(s) este cheia analizei Laplace; dar, trebuie să fie exprimat într-o anumită formă pentru a fi util. Aceasta necesită manipularea algebrică a următorilor doi pași.

Pasul 3: Aranjați H(s) pentru a fi un polinom deasupra altuia. Aceasta face ca funcția de transfer să fie scrisă ca:

Este întotdeauna posibilă exprimarea funcției de transfer sub această formă dacă sistemul este controlat de ecuații diferențiale. De exemplu, pulsul dreptunghiular prezentat în Fig. 32-3 nu este soluția unei ecuații diferențiale, iar transformata lui Laplace nu poate fi scrisă în acest fel. În comparație, orice circuit electric compus din rezistoare, condensatoare și inductoare poate fi scris sub această formă. Pentru filtrul notch RLC utilizat în acest exemplu, algebra prezentată la pasul 2 a plasat deja funcția de transfer în forma corectă, adică:

unde: a = L, b = 0, c = 1/C; și a = L, b = R, c = 1/C

Pasul 4: Factorizați polinoamele numărătorului și numitorului. Adică, împărțiți polinoamele numărătorului și numitorului în componente care conțin fiecare un singur s. Atunci când componentele sunt înmulțite împreună, ele trebuie să fie egale cu numărătorul și numitorul inițial. Cu alte cuvinte, ecuația este plasată în forma:

Rădăcinile numărătorului z1, z2, z3 ... sunt zerourile ecuației, în timp ce rădăcinile numitorului p1, p2, p3 ... sunt poli. Acestea sunt aceleași zerouri și poli pe care i-am întâlnit mai devreme în acest capitol și vom discuta despre modul în care sunt utilizate în secțiunea următoare.

Factorizarea unei expresii din domeniu-s este simplă dacă numărătorul și numitorul sunt polinoame de ordinul doi sau mai mic. Cu alte cuvinte, putem gestiona cu ușurință termenii: s și s², dar nu: s³, s⁴, s⁵... Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile unui polinom de ordinul doi, ax² + bx + c, pot fi găsite folosind ecuația cuadratică:

Cu această metodă, funcția de transfer a filtrului notch exemplu este factorizată în:

Ca și în acest exemplu, un sistem de ordinul doi are maximum doi zerouri și doi poli. Numărul de poli dintr-un sistem este egal cu numărul de componente independente de stocare a energiei. De exemplu, inductoarele și condensatoarele stochează energie, în timp ce rezistoarele nu. Numărul de zerouri va fi egal sau mai mic decât numărul de poli.

Polinoamele mai mari decât ordinul doi nu pot fi, în general, factorizate folosind algebra, necesitând metode numerice mai complicate. Ca alternativă, circuitele pot fi construite ca o cascadă de etaje de ordinul doi. Un exemplu bun este familia de filtre analogice prezentate în Capitolul 3. De exemplu, un filtru cu opt poli este proiectat prin legarea în cascadă a patru etaje cu doi poli fiecare. Ideea importantă este că această abordare multietaj este utilizată pentru a depăși limitările în matematică, nu limitări în electronică.

Fig. 32-7 Polii și zerourile din domeniul-s.
Aceste ilustrații arată relația între reprezentarea pol-zero, domeniul-s și răspunsul în frecvență. Valorile componente ale filtrului notch utilizate în aceste grafice sunt: R = 220 Ω, C = 470 pF și L = 54 μH. Aceste valori plasează centrul crestăturii la ω = 6,277 milioane, adică, o frecvență de aproximativ 1 MHz.