Primul nostru pas este să arătăm cum pot fi scrise undele sinus și cosinus într-o ecuație cu numere complexe. Cheia pentru aceasta este relația lui Euler, prezentată în ultimul capitol:

La prima vedere, acest lucru nu pare a fi de mare ajutor; o expresie complexă este egală cu o altă expresie complexă. Cu toate acestea, puțină algebră poate rearanja relația în alte două forme:

Acest rezultat este extrem de important, am dezvoltat o modalitate de scriere a ecuațiilor între numere complexe și sinusoidele obișnuite. Deși Ec. 31- 3 este forma standard a identității, va fi mai util pentru această discuție dacă schimbăm puțin termenii în ea:

Fiecare expresie este suma a două exponențiale: una care conține o frecvență pozitivă (ω), iar cealaltă care conține o frecvență negativă (-ω). Cu alte cuvinte, când undele sinus și cosinus sunt scrise ca numere complexe, porțiunea negativă a spectrului de frecvență este inclusă automat. Frecvențele pozitivă și negativă sunt tratate cu un statut egal; necesită o jumătate din fiecare pentru a forma o formă de undă completă.