31.2 Echivalența matematică
Primul nostru pas este să arătăm cum pot fi scrise undele sinus și cosinus într-o ecuație cu numere complexe. Cheia pentru aceasta este relația lui Euler, prezentată în ultimul capitol:
ECUAȚIA 31-2 Relația lui Euler.
La prima vedere, acest lucru nu pare a fi de mare ajutor; o expresie complexă este egală cu o altă expresie complexă. Cu toate acestea, puțină algebră poate rearanja relația în alte două forme:
ECUAȚIA 31-3 Relația lui Euler pentru sinus și cosinus.
Acest rezultat este extrem de important, am dezvoltat o modalitate de scriere a ecuațiilor între numere complexe și sinusoidele obișnuite. Deși Ec. 31- 3 este forma standard a identității, va fi mai util pentru această discuție dacă schimbăm puțin termenii în ea:
ECUAȚIA 31-4 Sinusoidele ca numere complexe. Utilizând numerele complexe, undele cosinus și sinus pot fi scrise ca suma unei frecvențe pozitive cu o frecvență negativă.
Fiecare expresie este suma a două exponențiale: una care conține o frecvență pozitivă (ω), iar cealaltă care conține o frecvență negativă (-ω). Cu alte cuvinte, când undele sinus și cosinus sunt scrise ca numere complexe, porțiunea negativă a spectrului de frecvență este inclusă automat. Frecvențele pozitivă și negativă sunt tratate cu un statut egal; necesită o jumătate din fiecare pentru a forma o formă de undă completă.