Să rezumăm unde ne aflăm. Soluțiile la ecuațiile algebrice comune conțin adesea rădăcina pătrată a unui număr negativ. Acestea se numesc numere complexe și reprezintă soluții care nu pot exista în lume așa cum o cunoaștem. Numerele complexe sunt exprimate într-una din două forme: a+bj (dreptunghiulară) sau Me^jθ (polar), unde j este un simbol reprezentând √-1.

Folosind oricare notație, un singur număr complex conține două părți separate de informații, fie a & b sau M & θ. In ciuda naturii lor înșelătoare, numerele complexe urmează legi matematice care sunt similare (sau identice) cu cele care reglementează numere obișnuite.

Acestea descriu care sunt numerele complexe și modul în care se încadrează în lumea matematicii pure. Următoarea noastră sarcină este de a descrie modalitățile prin care sunt utile în problemele de știință și inginerie. Cum este posibil să folosim o matematică care nu are nicio legătură cu experiența noastră de zi cu zi? Răspunsul: Dacă instrumentul pe care îl avem este un ciocan, faceți ca problema să pară un cui. Cu alte cuvinte, schimbăm problema fizică într-o formă de numere complexe, manipulăm numerele complexe, apoi schimbăm înapoi în răspuns fizic.

Există două moduri în care problemele fizice pot fi reprezentate folosind numere complexe: o simplă metodă de substituție și o metodă mai elegantă pe care o vom numi echivalență matematică. Echivalența matematică va fi discutată în capitolul următor la transformata Fourier complexă. Restul acestui capitol este dedicat substituției.

Substituția ia doi parametri fizici reali și plasează unul în partea reală a numărului complex și unul în partea imaginară. Aceasta permite manipularea celor două valori ca o singură entitate, adică un singur număr complex. După operațiunile matematice dorite, numărul complex este separat în părțile sale reală și imaginară, care corespund din nou cu parametrii fizici de care ne preocupăm.

Un exemplu simplu va arăta cum lucrează acest lucru. După cum vă reamintiți din fizica elementară, vectorii pot reprezenta astfel de lucruri ca: forța, viteza, accelerația, etc. De exemplu, imaginați-vă că o barcă cu pânze este împinsă într-o direcție de vânt și într-o altă direcție de curentul oceanic. Forța rezultată pe barcă este suma vectorială a celor doi vectori individuali de forță. Acest exemplu este prezentat în Fig. 30-3, unde doi vectori, A și B sunt adunați prin legea paralelogramului, rezultând C.

Putem reprezenta această problemă cu numere complexe, prin plasarea coordonatei est/vest în partea reală a unui număr complex, iar coordonata nord/sud în partea imaginară. Acest lucru ne permite să tratăm fiecare vector ca un singur număr complex, chiar dacă este compus din două părți. De exemplu, forța vântului, vectorul A, ar putea fi în direcția a 2 părți spre est

și 6 părți la nord, reprezentat ca număr complex: 2+6j, De asemenea, forța curentului oceanic, vectorul B ar putea fi în direcția a 4 părți spre est și 3 părți spre sud, reprezentat ca numărul complex: 4-3j. Acești doi vectori pot fi adunați prin Ec. 30-1, rezultând numărul complex reprezentând vectorul C: 6+3j. Transformând acest lucru într-un sens fizic, forța combinată pe barca cu pânze este în direcția a 6 părți spre nord și 3 părți spre est.

S-ar putea rezolva această problemă fără numere complexe? Desigur! Numerele complexe doar oferă un mod formalizat de a ține evidența celor două componente care formează un singur vector. Ideea de reținut este că unele probleme fizice pot fi convertite într-o formă complexă prin simpla adăugare a lui j la una dintre componente. Revenirea la problema fizică nu este nimic mai mult decât renunțarea la j. Aceasta este esența metodei de substituție.

Iată ciudățenia. De unde știm că regulile și legile care se aplică matematicii complexe sunt aceleași reguli și legi care se aplică problemei fizice inițiale? De exemplu, am folosit Ec. 30-1 pentru a aduna vectorii de forță în problema cu barca cu pânze. De unde știm că adunarea de numere complexe oferă același rezultat ca adunarea vectorilor de forță? În cele mai multe cazuri, știm că matematica complexă poate fi folosită pentru o anumită aplicație, deoarece altcineva a spus că o face. Unii matematicieni sau ingineri străluciți și bine respectați au elaborat detaliile și au publicat rezultatele. Ideea de reținut este că nu putem înlocui orice problemă cu o formă complexă și să așteptăm ca răspunsul să aibă sens. Trebuie să ne conformăm aplicațiilor care s-au dovedit a fi aplicabile analizei complexe.

Să ne uităm la un exemplu în care substituirea numerelor complexe nu funcționează. Imaginați-vă cumpărarea de mere pentru 5 dolari pe cutie și portocale pentru 10 dolari pe cutie. Reprezentați acest lucru cu numărul de complex: 5 + 10j. În timpul unei anumite săptămâni, cumpărați 6 cutii de mere și 2 cutii de portocale, pe care le reprezentați prin numărul complex: 6 + 2j. Prețul total pe care trebuie să îl plătiți pentru bunuri este egal cu numărul de articole înmulțit cu prețul fiecărui articol, adică (5 + 10j) (6 + 2j) = 10 + 70j. Cu alte cuvinte, matematica complexă indică faptul că trebuie să plătiți în total 10 USD pentru mere și 70 USD pentru portocale. Problema este că răspunsul este complet greșit! Regulile matematicii complexe nu respectă regulile acestei probleme fizice particulare.