Analiza Fourier este numită după Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), un matematician și fizician francez. În timp ce mulți au contribuit la domeniu, Fourier este onorat pentru descoperirile sale matematice și pentru înțelegerea utilității practice a tehnicilor. Fourier a fost interesat de propagarea căldurii și a prezentat un document în 1807 la Institut de France privind utilizarea sinusoidelor pentru a reprezenta distribuțiile de temperatură. Lucrarea conținea afirmația controversată că orice semnal periodic continuu ar putea fi reprezentat ca suma undelor sinusoidale alese adecvat. Printre recenzori au fost doi dintre cei mai cunoscuți matematicieni ai istoriei, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) și Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

În timp ce Laplace și ceilalți comentatori au votat pentru publicarea lucrării, Lagrange a protestat cu fermitate. Timp de aproape 50 de ani, Lagrange a insistat că o astfel de abordare nu ar putea fi utilizată pentru a reprezenta semnale cu colțuri, adică pante discontinue, cum ar fi în unde pătrate. Institutul de France s-a aplecat la prestigiul Lagrange și a respins lucrarea lui Fourier. Abia după ce Lagrange a murit, lucrarea a fost publicată în cele din urmă, după 15 ani. Din fericire, Fourier a avut alte lucruri pentru a-l ține ocupat, activitățile politice, expedițiile în Egipt cu Napoleon și încercarea de a evita ghilotina după Revoluția Franceză (literalmente!).

Cine a avut dreptate? E o decizie divizată. Lagrange a fost corect în afirmația sa că o sumare a sinusoidelor nu poate forma un semnal cu un colț. Totuși, puteți obține foarte aproape. Atât de aproape încât diferența dintre cele două are energie zero. În acest sens, Fourier avea dreptate, deși știința din secolul al XVIII-lea nu știa prea multe despre conceptul de energie. Acest fenomen se numește acum: Effect Gibbs și va fi discutat în capitolul 11.

Figura 8-1 ilustrează modul în care un semnal poate fi descompus în unde sinus și cosinus. Figura (a) prezintă un semnal de exemplu, lung de 16 puncte, care rulează de la numărul de eșantion 0 la 15. Figura (b) prezintă descompunerea Fourier a acestui semnal, nouă unde cosinus și nouă unde sinus, fiecare cu o frecvență și o amplitudine diferite. Deși departe de a fi evidente, aceste 18 sinusoide se adună pentru a produce forma de undă din (a). Trebuie remarcat faptul că obiecția formulată de Lagrange se aplică numai semnalelor continue. Pentru semnale discrete, această descompunere este matematic exactă. Nu există nici o diferență între semnalul din (a) și suma semnalelor din (b), la fel cum nu există diferențe între 7 și 3 + 4.

De ce sunt utilizate sinusoide în loc de, de exemplu, unde pătrate sau triunghiulare? Amintiți-vă, există un număr infinit de moduri în care un semnal poate fi descompus. Scopul descompunerii este să se încheie cu ceva mai ușor de rezolvat decât semnalul original. De exemplu, descompunerea în impulsuri permite ca semnalele să fie examinate un punct la un moment dat, conducând la o tehnică puternică de convoluție. Undele sinus și cosinus componente sunt mai simple decât semnalul original deoarece au o proprietate pe care semnalul original nu o are: fidelitate sinusoidală. Așa cum am discutat în capitolul 5, o intrare sinusoidală a unui sistem este garantată pentru a produce o ieșire sinusoidală. Numai amplitudinea și faza semnalului se pot schimba; frecvența și forma de undă trebuie să rămână aceleași. Sinusoidele sunt singura formă de undă care are această proprietate utilă. Deși sunt posibile descompuneri pătrată și triunghiulară, nu există nici un motiv general pentru a fi utile.

Termenul general: transformata Fourier, poate fi împărțită în patru categorii, care rezultă din cele patru tipuri de semnale de bază care pot fi întâlnite.

Unde cosinus

Unde sinus

Figura 8-1b Exemplu de descompunere Fourier.

Un semnal de 16 puncte (fig. 8-1a) este descompus în 9 unde cosinus și 9 unde sinus. Frecvența fiecărui sinusoid este fixă; numai amplitudinea se schimbă în funcție de modelul formei de undă de descompus.

Un semnal poate fi continuu sau discret și poate fi periodic sau aperiodic. Combinația acestor două caracteristici generează cele patru categorii descrise mai jos și ilustrate în figura 8-2.

Aperiodic-continuu

Aceasta include, de exemplu, exponențiale scăzătoare și curba Gaussiană. Aceste semnale se extind atât la infinitul pozitiv cât și la cel negativ, fără a se repeta într-un model periodic. Transformarea Fourier pentru acest tip de semnal este denumită pur și simplu Transformata Fourier.

Periodic-continuu

Aici exemplele includ: unde sinus, unde pătrate și orice formă de undă care se repetă într-un model obișnuit de la infinit negativ la pozitiv. Această versiune a transformării Fourier se numește Seria Fourier.

Aperiodic-discret

Aceste semnale sunt definite numai la puncte discrete între infinitul pozitiv și negativ și nu se repetă în mod periodic. Acest tip de transformare Fourier se numește Transformata Fourier în Timp Discret.

Periodic-discret

Acestea sunt semnale discrete care se repetă în mod periodic, de la infinit negativ la pozitiv. Această clasă de transformate Fourier este uneori numită seria Fourier discretă, dar este cel mai des numită Transformata Fourier Discretă.

S-ar putea să vă gândiți că numele dat acestor patru tipuri de transformări Fourier sunt confuze și prost organizate. Aveți dreptate, numele au evoluat destul de întâmplător peste 200 de ani. Nu puteți face nimic decât să le memorați și să continuați.

Aceste patru clase de semnale se extind la infinit pozitiv și negativ. Stai așa, spui! Ce se întâmplă dacă aveți doar un număr finit de eșantioane stocate în computer, să spunem un semnal format din 1024 de puncte. Nu există o versiune a transformatei Fourier care utilizează semnale de lungime finită? Nu, nu există. Undele sinus și cosinus sunt definite ca extinderea de la infinit negativ la infinit pozitiv. Nu puteți folosi un grup de semnale infinit de lungi pentru a sintetiza ceva finit în lungime. Modul în jurul acestei dileme este de a face ca datele finite să arate ca un semnal de lungime infinită. Acest lucru se face imaginându-se că semnalul are un număr infinit de eșantioane în stânga și în dreapta punctelor reale. Dacă toate aceste eșantioane imaginare au o valoare de zero, semnalul pare discret și aperiodic și se aplică Transformata Fourier în Timp Discret. Ca o alternativă, eșantioanele imaginare pot fi o duplicare a celor 1024 de puncte actuale. În acest caz, semnalul pare discret și periodic, cu o perioadă de 1024 de probe. Aceasta necesită utilizarea Transformării Fourier discrete.

După cum se dovedește, un număr infinit de sinusoide este necesar pentru a sintetiza un semnal care este aperiodic. Acest lucru face imposibilă calcularea transformatei Fourier în timp Discret într-un algoritm de calculator. Prin eliminare, singurul tip de transformată Fourier care poate fi utilizat în DSP este DFT. Cu alte cuvinte, computerele digitale pot funcționa numai cu informații care sunt discrete și finite în lungime. Când te lupți cu probleme teoretice, lupți cu probleme de temă și gândești misterele matematice, te poți găsi folosind primii trei membri ai familiei de transformate Fourier. Când vă așezați la computer, veți folosi doar DFT. Vom examina pe scurt aceste alte transformatei Fourier în capitolele viitoare. Pentru moment, concentrați-vă asupra înțelegerii Transformatei Fourier Discrete (DFT).

Fig. 8.2 . Prezentarea a patru transformate Fourier.

Un semnal poate fi continuu sau discret și poate fi periodic sau aperiodic. Împreună, acestea definesc patru posibile combinații, fiecare având propria sa versiune de transformată Fourier. Numele nu sunt bine organizate, memorați-le pur și simplu.

Uită-te înapoi la descompunerea exemplu DFT din Fig.8-1. Pe fața ei, apare că este un semnal de 16 puncte fiind descompus în 18 sinusoide, fiecare constând din 16 puncte. În termeni mai formali, semnalul de 16 puncte, prezentat în (a), trebuie privit ca o singură perioadă a unui semnal periodic infinit de lung. De asemenea, fiecare dintre cele 18 sinusoide, prezentate în (b), reprezintă un segment de 16 puncte dintr-un sinusoid infinit de lung. Contează cu adevărat dacă privim acest lucru ca un semnal de 16 puncte sintetizat din sinusoide de 16 puncte sau ca un semnal periodic infinit de lung fiind sintetizat din sinusoide infinit de lungi? Răspunsul este: de obicei nu, dar uneori, da. În capitolele viitoare vom întâlni proprietățile DFT care par a fi derutante dacă semnalele sunt văzute ca fiind finite, dar devin evidente atunci când este considerată natura periodică. Punctul-cheie pentru a înțelege este că această periodicitate este invocată pentru a folosi un instrument matematic, adică DFT. De obicei, este lipsit de sens în ceea ce privește originea semnalului sau cum a fost dobândit.

Fiecare dintre cele patru Transformate Fourier poate fi împărțită în versiuni reale și complexe. Versiunea reală este cea mai simplă, folosind numere algebră obișnuite și pentru sinteză și descompunere. De exemplu, Figura 8-1 este un exemplu de DFT real. Versiunile complexe ale celor patru Transformate Fourier sunt mult mai complicate, necesitând utilizarea unor numere complexe. Acestea sunt numere precum: 3 + 4j , unde j este egal cu √ -1 (inginerii electrici folo-sesc variabila j, în timp ce matematicienii folosesc variabila i). Matematica complexă poate deveni rapid copleșitoare, chiar și celor care se specializează în DSP. De fapt, scopul principal al acestei lucrări este de a prezenta fundamentele DSP fără utilizarea matematicii complexe, permițând înțelegerea materialului de către o gamă mai largă de oameni de știință și ingineri. Transformatele Fourier complexe sunt domeniul celor care se specializează în DSP și sunt dispuși să se scufunde până la gât în mlaștina matematicii. Dacă sunteți atât de înclinat, capitolele 28-31 vă vor duce acolo.

Termenul matematic: transformată este utilizat extensiv în procesarea semnalelor digitale, cum ar fi: Transformata Fourier, transformata Laplace, transformata Z, transformata Hilbert, transformata discretă a cosinusului etc. Ce este o transformată? Pentru a răspunde la această întrebare, amintiți-vă ce este o funcție. O funcție este un algoritm sau o procedură care schimbă o valoare într-o altă valoare. De exemplu, y = 2x + 1 este o funcție. Alegeți o valoare pentru x, introduceți-o în ecuație și scoateți o valoare pentru y. Funcțiile pot de asemenea să schimbe mai multe valori într-o singură valoare, cum ar fi: y = 2a + 3b + 4c, unde a, b și c sunt transformate în y.

Transformatele sunt o extensie directă a acestui fapt, permițând atât intrării cât și ieșirii să aibă multiple valori. Să presupunem că aveți un semnal compus din 100 de eșantioane. Dacă proiectați o anumită ecuație, algoritm sau procedură pentru a schimba aceste 100 de eșantioane în alte 100 de eșantioane, aveți o transformată. Dacă credeți că este suficient de util, aveți dreptul perfect să vă atașați numele de familie la ea și să îi exprimați meritele colegilor. (Acest lucru funcționează cel mai bine dacă ești un eminent matematician francez din secolul al XVIII-lea).

Transformatele nu se limitează la un anumit tip sau număr de date. De exemplu, este posibil să aveți 100 de eșantioane de date discrete pentru intrare și 200 de eșantioane de date discrete pentru ieșire. De asemenea, este posibil să aveți un semnal continuu pentru intrare și un semnal continuu pentru ieșire. De asemenea, sunt permise semnale mixte, discrete IN și continue OUT, și invers. Pe scurt, o transformată este orice procedură fixă ​​care modifică o parte din date într-o altă bucată de date. Să vedem cum se aplică acest lucru la subiectul respectiv: Transformata Fourier Discretă.

Secțiunea următoare: Notația și formatul DFT real