Transformata Fourier pentru semnalele continue este împărțită în două categorii, una pentru semnalele periodice și una pentru semnalele aperiodice. Semnalele periodice folosesc o versiune a transformatei Fourier numită Serie Fourier și sunt discutate în secțiunea următoare. Transformata Fourier utilizată cu semnale aperiodice este denumită pur și simplu Transformata Fourier. Acest capitol descrie aceste tehnici Fourier folosind numai matematica reală, așa cum au făcut ultimele capitole pentru semnale discrete. Utilizarea mai puternică a matematicii complexe va fi arătată în Capitolul 29.

Figura 13-8 prezintă un exemplu de semnal continuu aperiodic și spectrul său de frecvență. Semnalul din domeniul timp se extinde de la minus infinit la plus infinit, în timp ce fiecare dintre semnalele din domeniu frecvență se extinde de la zero la plus infinit. Acest spectru de frecvență este prezentat în formă rectangulară (părți reală și imaginară); totuși, forma polară (magnitudine și fază) este de asemenea utilizată cu semnale continue. La fel ca în cazul discret, ecuația de sinteză descrie o rețetă pentru construirea semnalului din domeniul timp folosind datele din domeniul frecvență. În formă matematică:

Ecuația 13-2 Ecuația de sinteză a Transformatei Fourier.
În această ecuație, x(t) este semnalul din domeniul timp de sintetizat, iar ReX(ω) și Im(ω) sunt părțile reală și, respectiv, imaginară ale spectrului de frecvențe.

În cuvinte, semnalul din domeniul timp se formează prin adunarea (cu utilizarea unei integrale) a unui număr infinit de unde sinus și cosinus scalate. Partea reală a domeniului frecvență constă din factorii de scalare pentru undele cosinus, în timp ce partea imaginară constă din factorii de scalare pentru undele sinus. La fel ca în cazul semnalelor discrete, ecuația de sinteză este de obicei scrisă cu unde sinus negative. Deși semnul negativ nu are nici o semnificație în discuție, este necesar să se facă notația compatibilă cu matematica complexă descrisă în Capitolul 29. Punctul cheie de reținut este faptul că unii autori pun acest semn negativ în ecuație, în timp ce alții nu. De asemenea, observați că frecvența este reprezentată de simbolul ω, omega grecească cu litere mici.

Figura 13-8 Exemplu de Transformată Fourier

Semnalul din domeniul timp x(t) se întinde de la minus infinit la plus infinit. Domeniul frecvență este compus dintr-o parte reală ReX(ω) și o parte imaginară Im(ω), fiecare extinzându-se de la zero la plus infinit. Axa de frecvențe este etichetată în cicluri pe secundă (hertz). Pentru a converti la frecvențe naturale, multiplicați numerele de pe axa frecvențelor cu 2π.

După cum vă amintiți, această notație este numită frecvența naturală și are unitățile radiani pe secundă. Deci, ω = 2πf, unde f este frecvența în cicluri pe secundă (hertz). Notația de frecvență naturală este favorizată de matematicieni și de alții care fac procesarea semnalelor prin rezolvarea ecuațiilor, deoarece de obicei există mai puține simboluri de scris.

Ecuațiile de analiză pentru semnale continue urmează aceeași strategie ca și cazul discret: corelația cu unde sinus și cosinus. Ecuațiile sunt:

Ca exemplu de utilizare a ecuațiilor de analiză, vom găsi răspunsul în frecvență al filtrului low-pass RC. Aceasta se face prin aplicarea transformatei Fourier răspunsului său la impuls, prezentată anterior în figura 13-4 și descrisă de:

Răspunsul în frecvență se găsește prin introducerea răspunsului la impuls în ecuațiile de analiză.

Mai întâi, partea reală:

Folosind aceeași abordare, partea imaginară a răspunsului în frecvență se calculează a fi:

La fel ca și în cazul semnalelor discrete, reprezentarea dreptunghiulară a domeniului frecvență este excelentă pentru manevrarea matematică, dar dificilă pentru înțelegerea umană. Situația poate fi remediată prin convertirea în notația polară cu relațiile standard: Mag H(ω) = [ReH(ω²) + ImH(ω²)]^1/2 și Phase H(ω) = arctan[ReH(ω)/ImH(ω)]. Lucrând prin algebra se asigură răspunsul în frecvență al filtrului low-pass RC cu magnitudine și fază (adică, forma polară):

Figura 13-9 prezintă grafice ale acestor curbe pentru o frecvență cutoff de 1000 herți (adică α = 2π1000).

Figura 13-9 Răspunsul în frecvență al unui filtru trece-jos RC.
Aceste curbe au fost derivate din calcularea Transformatei Fourier a răspunsului la impuls și apoi convertite la forma polară.

Secțiunea următoare: Seria Fourier