Transformata Laplace este o tehnică matematică bine stabilită pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale. Este numită în onoarea marelui matematician francez, Pierre Simon De Laplace (1749-1827). Ca toate transformatele, Transformata Laplace schimbă un semnal în altul conform unui set fixat de reguli sau ecuații. Așa cum este ilustrat în Fig. 32-1, transformata Laplace schimbă un semnal din domeniul timp într-un semnal din domeniul-s, numit și plan-s. Semnalul din domeniul timp este continuu, se întinde atât la plus infinit, cât și la minus infinit și poate fi periodic sau aperiodic. Transformata Laplace permite ca domeniul timp să fie complex; dar, acest lucru este foarte rar necesar în procesarea semnalului. În această discuție și în aproape toate aplicațiile practice, semnalul din domeniul timp este complet real.

Așa cum se arată în Fig. 32-1, domeniul-s este un plan complex; adică, există numere reale de-a lungul axei orizontale și numere imaginare de-a lungul axei verticale. Distanța în lungul axei reale este exprimată de variabila σ, un sigma grecesc cu literă mică. De asemenea, axa imaginară folosește variabila, ω, frecvența naturală. Acest sistem de coordonate permite specificarea locației oricărui punct prin furnizarea de valori pentru σ și ω. Folosind notație complexă, fiecare locație este reprezentată de variabila complexă s, unde: s = σ+jω. La fel ca în cazul transformatei Fourier, semnalele din domeniul-s sunt reprezentate cu majuscule. De exemplu, un semnal din domeniu timp, x(t), este transformat într-un semnal din domeniu-s X(s) sau, alternativ, X(σ,ω). Planul-s este continuu și se extinde până la infinit în toate cele patru direcții.

Pe lângă faptul că are o locație definită de un număr complex, fiecare punct din domeniul-s are o valoare care este un număr complex. Cu alte cuvinte, fiecare locație din planul-s are o parte reală și o parte imaginară. Ca și în cazul tuturor numerelor complexe, părțile reale și imaginare pot fi exprimate alternativ ca magnitudine și fază.

La fel cum transformata Fourier analizează semnalele în termeni de sinusoide, transformata Laplace analizează semnalele în termeni de sinusoide și exponențiale. Din punct de vedere matematic, acest lucru face transformata Fourier un subset al mai elaboratei transformate Laplace . Figura 32-1 prezintă o descriere grafică a modului în care domeniul-s este raportat la domeniul timp. Pentru a găsi valorile de-a lungul unei linii verticale în planul-s (valorile la un anumit σ), semnalul din domeniul timp este înmulțit mai întâi cu curba exponențială: e^-σt. Jumătatea stângă a planului-s înmulțește domeniul timp cu exponențiale care cresc cu timpul (σ < 0), în timp ce în jumătatea dreaptă exponențialele scad cu timpul (σ > 0). Apoi, ia transformata Fourier complexă a semnalului ponderat exponențial. Spectrul rezultat este plasat de-a lungul unei linii verticale în planul-s, cu jumătatea de sus a planului-s conținând frecvențe pozitive și jumătatea inferioară conținând frecvențe negative. Rețineți că valorile de pe axa-y a planului-s (σ = 0) sunt exact egale cu transformata Fourier a semnalului din domeniu timp.

După cum s-a discutat în ultimul capitol, transformata Fourier complexă este dată de:

Aceasta poate fi extinsă în transformata Laplace, înmulțind mai întâi semnalul din domeniul timp cu termenul exponențial:

Deși aceasta nu este cea mai simplă formă a transformatei Laplace, este probabil cea mai bună descriere a strategiei și funcționării tehnicii. Pentru a plasa ecuația într-o formă mai scurtă, cei doi termeni exponențiali pot fi combinați:

Figura 32.1

Transformata Laplace. Transformata Laplace convertește un semnal din domeniul timp, x(t), într-un semnal din domeniul-s, X(s) sau X(σ,ω). Valorile de-a lungul fiecărei linii verticale din domeniul-s pot fi găsite înmulțind semnalul din domeniul timp cu o curbă exponențială cu o constantă de descompunere σ și luând transformata Fourier complexă. Când domeniul timp este în întregime real, jumătatea superioară a planului-s este o imagine în oglindă a jumătății inferioare.

În cele din urmă, locația în planul complex poate fi reprezentată de variabila complexă s, unde s = σ+jω. Aceasta permite ca ecuația să fie redusă la o expresie și mai compactă:

Aceasta este forma finală a transformatei Laplace, una dintre cele mai importante ecuații în procesarea semnalului și electronică. Acordați o atenție deosebită termenului: e^{- st}, numit exponențială complexă. După cum se arată în calculul de mai sus, exponențialele complexe sunt un mod compact de a reprezenta atât sinusoide, cât și exponențiale într-o singură expresie.

Deși am explicat transformata Laplace ca un proces în două etape (înmulțirea cu o curbă exponențială urmată de transformata Fourier), rețineți că aceasta este doar un ajutor didactic, un mod de rupere a ec. 32-1 în componente mai simple. Transformata Laplace este o singură ecuație referitoare la x(t) și X(s), nu o procedură pas cu pas. Ecuația 32-1 descrie cum se calculează fiecare punct în planul-s (identificat prin valorile sale pentru σ și ω) pe baza valorilor σ, ω și a semnalului din domeniul timp x(t). Folosind transformata Fourier pentru a calcula simultan toate punctele de-a lungul unei linii verticale este doar o comoditate, nu o cerință. Dar, este important să vă amintiți că valorile planului-s de-a lungul axei-y (σ = 0) sunt exact egale cu transformata Fourier. După cum am explicat mai târziu în acest capitol, aceasta este o parte cheie a motivului pentru care transformata Laplace este utilă.

Pentru a explora natura Ec. 32-1 mai departe, să analizăm mai multe puncte individuale din domeniul-s și să examinăm modul în care valorile din aceste locații sunt corelate cu semnalul din domeniul timp. Pentru început, revedeți cum punctele individuale din domeniul frecvență sunt legate de semnalul din domeniul timp. Fiecare punct din domeniul frecvență, identificat cu o valoare specifică a lui ω, corespunde la două sinusoide, cos (ωt) și sin (ωt). Partea reală se găsește prin înmulțirea semnalului din domeniu timp cu unda cosinus, apoi integrarea de la -∞ la +∞. Partea imaginară se găsește în același mod, cu excepția folosirii undei sinus. Dacă avem de-a face cu transformata Fourier complexă, valorile la frecvența negativă corespunzătoare, -ω, vor fi conjugatul complex (aceeași parte reală, parte imaginară negativă) a valorilor la ω. Transformata Laplace este doar o extensie a acelorași concepte.

Figura 32-2 prezintă trei perechi de puncte în planul-s: A&A', B&B' și C&C'. La fel ca în spectrul de frecvențe complex, punctele de la A, B & C (frecvențe pozitive) sunt conjugatele complexe ale punctelor de la A', B' și C' (frecvențe negative). Jumătatea superioară a planului-s este o imagine în oglindă a jumătății inferioare și ambele jumătăți sunt necesare pentru a corespunde cu un semnal real din domeniul timp. Cu alte cuvinte, tratarea acestor puncte în perechi ocolește matematica complexă, permițându-ne să acționăm în domeniul timp doar cu numere reale.

Deoarece fiecare dintre aceste perechi are valori specifice pentru σ și ± ω, există două forme de undă asociate cu fiecare pereche: cos(ωt)e^{- σt} și sin(ωt)e^{- σt}. De exemplu, punctele A&A' sunt la o locație de σ = 1,5 și ω = ± 40 și, prin urmare, corespund formelor de undă: cos(40t)e^{-1,5 t} și sin(40t) e^{-1,5 t}. Așa cum se arată în Fig. 32-2, acestea sunt sinusoide care scad exponențial în amplitudine pe măsură ce timpul progresează. În același mod, undele sinus și cosinus asociate cu B&B' au o amplitudine constantă, care rezultă din valoarea zero a lui σ. Undele sinus și cosinus care sunt asociate cu locațiile C&C' cresc exponențial în amplitudine, deoarece σ este negativ.

Valoarea la fiecare locație din planul-s constă dintr-o parte reală și o parte imaginară. Partea reală se găsește prin înmulțirea semnalului din domeniu timp cu unda cosinus ponderată exponențial și apoi integrată de la -∞ la +∞. Partea imaginară se găsește în același mod, cu excepția că se folosește unda sinus ponderată exponențial. Ea arată în formă de ecuație, folosind partea reală a A&A' ca exemplu:

Figura 32-3 arată un exemplu de formă de undă din domeniu timp, spectrul său de frecvență și reprezentarea sa din domeniu-s. Exemplul semnalului din domeniu timp este un impuls dreptunghiular cu lățimea doi și înălțime unu. După cum este arătat, transformata Fourier complexă a acestui semnal este o funcție sinc în partea reală și un semnal complet zero în partea imaginară. Domeniul-s este un semnal bidimensional ondulat, afișat aici ca suprafețe topografice ale părților reală și imaginară. Matematica funcționează astfel:

În cuvinte, începem cu definiția transformatei Laplace (Ec. 32-11), introduceți valoarea unitate pentru x(t), și schimbați limitele pentru a se potrivi cu lungimea porțiunii nenule a semnalului din domeniu timp. Evaluarea acestei integrale furnizează semnalul din domeniul-s, exprimat în termeni de locație complexă s și valoarea complexă X(s):

Deși aceasta este cea mai compactă formă a răspunsului, utilizarea variabilelor complexe face dificilă înțelegerea și imposibilă generarea unui afișaj vizual, precum Fig. 32-3. Soluția constă în înlocuirea variabilei complexe s, cu σ + jω și apoi separarea părților reală și imaginară:

Suprafețele topografice din Fig. 32-3 sunt grafice ale acestor ecuații. Aceste ecuații sunt destul de lungi, iar matematica pentru a le calcula este foarte obositoare. Aceasta aduce o problemă practică: cu algebra de această complexitate, de unde știm că nu am făcut-o o eroare în calcule? Un control este de a verifica dacă aceste ecuații se reduc la transformata Fourier de-a lungul axei-y. Aceasta este realizat prin setarea lui σ la zero în ecuații și simplificarea:

Cum este ilustrat în Fig. 32-3, acestea sunt semnale din domeniu frecvență corecte, la fel ca cele găsite direct prin tansformata Fourier a formei de undă din domeniul timp.