Definiția eșantionării corecte este destul de simplă. Să presupunem că eșantionați un semnal continuu într-un anumit fel. Dacă puteți reconstitui exact semnalul analogic din eșantioane, trebuie să fi făcut corect eșantionarea. Chiar dacă datele eșantionate sunt confuze sau incomplete, informațiile cheie au fost captate dacă puteți inversa procesul.

Figura 3-3 prezintă mai multe sinusoide înainte și după digitizare. Linia continuă reprezintă semnalul analog introdus în ADC, în timp ce marcatorii pătrați sunt semnalul digital care părăsește ADC-ul. În (a), semnalul analogic este o valoare DC constantă, o undă cosinus de frecvență zero. Deoarece semnalul analogic este o serie de linii drepte între fiecare dintre eșantioane, toate informațiile necesare pentru reconstrucția semnalului analogic sunt conținute în datele digitale. Conform definiției noastre, aceasta este o eșantionare corectă.

Unda sinus prezentată în (b) are o frecvență de 0,09 din rata de eșantionare. Aceasta ar putea reprezenta, de exemplu, o undă sinus de 90 cicluri/secundă fiind eșantionată la 1000 eșantioane/secundă. Exprimat într-un alt mod, sunt luate 11,1 eșantioane pe fiecare ciclu complet de sinusoidă. Această situație este mai complicată decât cazul precedent, deoarece semnalul analogic nu poate fi reconstruit prin simpla trasare a unor linii drepte între punctele de date. Aceste eșantioane reprezintă corect semnalul analogic? Răspunsul este da, deoarece nici o altă sinusoidă, sau o combinație de sinusoide, nu va produce acest model de eșantioane (în cadrul constrângerilor rezonabile enumerate mai jos). Aceste eșantioanee corespund numai unui semnal analogic și, prin urmare, semnalul analogic poate fi reconstruit exact. Din nou, un exemplu de eșantionare corectă.

În (c), situația este mai dificilă prin creșterea frecvenței undei sinusoidale la 0,31 din rata de eșantionare. Rezultă numai 3,2 eșantioane pe ciclu sinusoidal. Aici eșantioanele sunt atât de rare, încât nici măcar nu par să urmeze tendința generală a semnalului analogic. Aceste eșantioane reprezintă corect forma de undă analogică? Din nou, răspunsul este da, și din același motiv. Eșantioanele sunt o reprezentare unică a semnalului analogic. Toate informațiile necesare pentru reconstrucția formei de undă continuă sunt conținute în datele digitale. Cum veți face acest lucru se va discuta mai târziu în acest capitol. Evident, trebuie să fie mai sofisticat decât să traseze linii drepte între punctele de date. Cât de ciudat pare, este o eșantionare corespunzătoare conform definiției noastre.

În (d), frecvența analogică este împinsă până la 0,95 din rata de eșantionare, cu doar 1,05 eșantioane pe ciclu sinusoidal. Aceste eșantioane reprezintă corect datele? Nu, ele nu! Eșantioanele reprezintă o undăl sinus diferită de cea conținută în semnalul analogic. În special, unda sinus originală cu frecvență de 0,95 se prezintă în mod eronat ca o undă sinus cu frecvență de 0,05 în semnalul digital. Acest fenomen de schimbare a frecvenței sinusoidelor în timpul eșantionării se numește aliasing. Așa cum un criminal ar putea lua un nume sau o identitate presupusă (un alias -pseudonim), sinusoida presupune o altă frecvență care nu este proprie. Deoarece datele digitale nu mai sunt legate în mod unic de un anumit semnal analogic, este imposibilă o reconstrucție fără ambiguități. Nu există nimic în datele eșantionate pentru a sugera că semnalul analogic original avea o frecvență de 0,95, în loc de 0,05. Unda sinus și-a ascuns complet adevărata identitate; crima perfectă a fost comisă! Conform definiției noastre, acesta este un exemplu de eșantionare necorespunzătoare.

Această linie de raționament duce la o piatră de hotar în DSP, teorema eșantionării. Frecvent, aceasta se numește teorema de eșantionare Shannon sau teorema de eșantionare Nyquist, după autorii articolelor din anii 1940 pe această temă. Teorema eșantionării indică faptul că un semnal continuu poate fi eșantionat în mod corespunzător, numai dacă nu conține componente de frecvență peste jumătatea ratei de eșantionare. De exemplu, o rată de eșantionare de 2000 de eșantioane/secundă necesită ca semnalul analogic să fie compus din frecvențe mai mici de 1000 de cicluri/secundă. În cazul în care frecvențe deasupra acestei limite sunt prezente în semnal, acestea vor fi mutate (alias) la frecvențe între 0 și 1000 de cicluri/secundă, combinând cu orice informație care a fost legitimă acolo.

Figura 3-3

Ilustrarea eșantionării corecte și incorecte. Un semnal continuu este eșantionat corect dacă eșantioanele conțin toată informația necesară pentru crearea formei de undă originale. Figurile (a), (b) și (c) prezintă eșantionarea corectă a trei forme de undă sinusoidale. Aceasta nu este chiar evidentă, deoarece eșantioanele din (c) nu par să reprezinte forma undei. Cu toate acestea, fiecare din aceste semnale continue formează o unică pereche unu-la-unu cu modelul său de eșantioane. Aceasta garantează că reconstrucția poate avea loc. În (d), frecvența undei sinus analogice este mai mare decât frecvența Nyquist (jumătate din rata de eșantionare). Aceasta duce la aliasing, unde frecvența datelor eșantionate este diferită de frecvența semnalului continuu. Deoarece aliasing a deformat informația, semnalul original nu poate fi reconstruit din eșantioane.

Doi termeni sunt folosiți pe scară largă atunci când se discută teorema eșantionării: frecvența Nyquist și rata Nyquist. Din păcate, semnificația lor nu este standardizată. Pentru a înțelege aceasta, considerați un semnal analogic compus din frecvențe între DC și 3 kHz. Pentru a digitiza corect acest semnal, trebuie să fie eșantionat la 6.000 de eșantioane/ sec (6 kHz) sau mai mare. Să presupunem că alegem să eșantionăm la 8000 eșantioane/sec (8 kHz), permițând reprezentarea corectă a frecvențelor între DC și 4 kHz. În această situație, există patru frecvențe importante: (1) frecvența cea mai mare în semnal, 3 kHz; (2) de două ori această frecvență, 6 kHz; (3) rata de eșantionare, 8 kHz; și (4) o jumătate din rata de eșantionare, 4 kHz. Care dintre acestea este frecvența Nyquist și care este rata Nyquist ? Depinde pe cine întrebi! Se folosesc toate combinațiile posibile. Din fericire, majoritatea autorilor au grijă să definească modul în care folosesc termenii. În această lucrare, ambele sunt folosite pentru a însemna o jumătate din rata de eșantionare.

Figura 3-4 arată modul în care frecvențele sunt schimbate pe durata aliasing. Punctul cheie de reținut este că un semnal digital nu poate conține frecvențe mai mari de jumătate din rata de eșantionare (adică frecvența/rata Nyquist). Când frecvența undei continue este sub rata Nyquist, frecvența datelor eșantionate este adecvată. Când frecvența semnalului continuu este peste rata Nyquist, aliasing schimbă frecvența în ceva ce poate să fie reprezentat în datele eșantionate. Așa cum este arătat de linia în zig-zag din figura 3-4, fiecare frecvență continuă deasupra ratei Nyquist are o frecvență digitală corespunzătoare între zero și jumătate din rata de eșantionare. Se întâmplă să existe o sinusoidă deja la această frecvență mai mică, semnalul alias se va adăuga la ea, ducând la o pierdere de informații. Aliasing este un blestem dublu; se pot pierde informații despre frecvența mai mare și cea mai mică. Să presupunem că aveți un semnal digital care conține o frecvență de 0,2 din rata de eșantionare. Dacă acest semnal a fost obținut prin eșantionare adecvată, semnalul analogic original trebuie să fi avut o frecvență de 0,2. Dacă aliasingul a avut loc în timpul eșantionării, frecvența digitală de 0,2 ar fi putut proveni de la un număr infinit de frecvențe în semnalul analogic: 0,2; 0,8; 1,2; 1,8; 2,2; ....

Așa cum aliasingul poate schimba frecvența în timpul eșantionării, poate schimba și faza. De exemplu, uitați-vă înapoi la semnalul alias în fig. 3-3d. Semnalul digital alias este inversat față de semnalul analogic original; unul este o undă sinus, în timp ce celălalt este o undă sinus negativă. Cu alte cuvinte, aliasing-ul a schimbat frecvența și a introdus o defazare de 180 grade. Doar două defazări sunt posibile: 0^o (fără defazare) și 180^o (inversare). Defazare zero are loc pentru frecvențe analogice de la 0 la 0,5, 1,0 până la 1,5, 2,0 până la 2,5, etc. O fază inversată apare pentru frecvențe analogice de 0,5 până la 1,0, 1,5 până la 2,0, 3,5 până la 4,0 și așa mai departe.

Acum, vom analiza o analiză mai detaliată a eșantionării și a modului în care apare aliasing. Scopul nostru general este de a înțelege ce se întâmplă cu informațiile când un semnal este convertit dintr-o formă continuă într-o formă discretă. Problema este că acestea sunt lucruri foarte diferite; unul este o formă de undă continuă, în timp ce celălalt este un șir de numere. Această comparație "mere-cu-portocale" face analiza foarte dificilă. Soluția este de a introduce un concept teoretic numit tren de impulsuri.

Figura 3-5a prezintă un exemplu de semnal analogic. Figura (c) prezintă semnalul eșantionat prin utilizarea unui tren de impulsuri. Trenul de impulsuri este un semnal continuu constând dintr-o serie de vârfuri înguste (impulsuri) care se potrivesc cu semnalul inițial la momentele de eșantionare. Fiecare impuls este infim de îngust, un concept care va fi discutat în capitolul 13. Între aceste timpi de eșantionare, valoarea formei de undă este zero. Rețineți că trenul de impulsuri este un concept teoretic, nu o formă de undă care poate exista într-un circuit electronic. Deoarece atât semnalul analogic original, cât și trenul de impulsuri sunt forme de undă continue, putem face o comparație "mere-cu-mere" între cele două.

Figura 3-4

Conversia frecvenței analogice într-o frecvență digitală pe durata eșantionării. Semnalele continue cu o frecvență mai mică decât jumătate din rata de eșantionare sunt convertite direct în frecvența digitală corespondentă. Deasupra jumătății ratei de eșantionare apare aliasing conducând la frecvențe care sunt denaturate în datele digitale. Aliasing schimbă, întotdeauna, o frecvență mai înaltă într-o frecvență mai joasă între 0 și 0,5. În plus, aliasing poate schimba faza semnalului cu 180 de grade.

Acum trebuie să examinăm relația dintre trenul de impulsuri și semnalul discret (un șir de numere). Aceasta este ușor; în ceea ce privește conținutul informațional, ele sunt identice. Dacă ceva este cunoscut, este banal să calculați altceva. Gândiți-vă la acestea ca niște capete diferite ale unui pod care trece între lumea analogică și cea digitală. Aceasta înseamnă că am realizat obiectivul nostru general după ce am înțeles consecințele schimbării formei de undă din figura 3-5a în forma de undă din Fig.3.5c.

Trei forme de undă continuă sunt prezentate în coloana din stânga din fig. 3-5. Spectrele de frecvență corespunzătoare acestor semnale sunt afișate în coloana din dreapta. Aceasta ar trebui să fie un concept familiar de la cunoștințele de electronică; fiecare formă de undă poate fi privită ca fiind compusă din sinusoide de amplitudine și frecvență variate. Capitolele ulterioare vor discuta în detaliu domeniul frecvență. (Poate doriți să revedeți această discuție după ce ați devenit mai familiarizat cu spectrele de frecvență).

Figura (a) arată un semnal analog pe care dorim să îl eșantionăm. Așa cum este indicat de spectrul său de frecvență în (b), el este compus numai din componente de frecvență între 0 și aproximativ 0,33 fs, unde fs este frecvența de eșantionare pe care intenționăm să o folosim. De exemplu, acesta ar putea fi un semnal de vorbire care a fost filtrat pentru a elimina toate frecvențele de peste 3,3 kHz. Corespunzător, fs ar fi 10 kHz (10.000 eșantioane/secundă), rata de eșantionare dorită.

Eșantionarea semnalului în (a) prin utilizarea unui tren de impulsuri produce semnalul prezentat în (c) și spectrul său de frecvență arătat în (d). Acest spectru este o duplicare a spectrului semnalului original. Fiecare multiplu al frecvenței de eșantionare fs, 2fs, 3fs, 4fs, etc, a primit o copie și o copie oglindită stânga-dreapta a spectrului de frecvențe original. Copia este numită banda laterală superioară, în timp ce copia oglindită este numită banda laterală inferioară. Eșantionarea a generat noi frecvențe. Este aceasta eșantionare corectă? Răspunsul este da, deoarece semnalul din (c) poate fi transformat înapoi în semnalul din (a) eliminând toate frecvențele de mai sus de fs. Adică, un filtru analogic trece-jos va converti trenul de impulsuri (b) înapoi în semnalul analogic original (a).

Dacă sunteți deja familiarizat cu elementele de bază ale DSP, aici este o explicație mai tehnică a motivului pentru care această duplicare spectrală are loc. (Ignorați acest paragraf dacă sunteți nou în DSP). În domeniul timp, eșantionarea se realizează prin înmulțirea semnalului original cu un tren de impulsuri de vârfuri cu amplitudine unitate. Spectrul de frecvență al acestui tren de impulsuri cu amplitudine unitate este, de asemenea, un tren de impulsuri cul amplitudine unitate, cu vârfurile care apar la multipli ai frecvenței de eșantionare fs, 2fs, 3fs, 4fs, etc. Atunci când se înmulțesc două semnale din domeniul timp, spectrele lor de frecvență sunt convolvate. Aceasta are ca rezultat faptul că spectrul original este duplicat la locația fiecărui vârf din spectrul trenului de impulsuri. Vizualizarea semnalului inițial, compus atât din frecvențe pozitive, cât și din cele negative, contează pentru benzile laterale superioare și inferioare, respectiv. Aceasta este aceeași cu modularea amplitudinii, discutată în Capitolul 10.

Figura (e) prezintă un exemplu de eșantionare necorespunzătoare, rezultând din rata de eșantionare prea scăzută. Semnalul analogic conține încă frecvențe de până la 3,3 kHz, dar frecvența de eșantionare a fost redusă la 5 kHz. Observați că de-a lungul axei orizontale sunt distanțate mai aproape în (f) decât în (d). Spectrul de frecvență (f) prezintă problema: porțiunile duplicate ale spectrului au invadat banda între zero și jumătate din frecvența de eșantionare. Deși (f) arată că aceste frecvențe suprapuse păstrează identitatea lor separată, în practică se adaugă împreună formând o singură dezordine confuză. Deoarece nu există nici o modalitate de a separa frecvențele care se suprapun, informațiile se pierd și semnalul original nu poate fi reconstruit. Această suprapunere are loc atunci când semnalul analogic conține frecvențe mai mari decât jumătate din rata de eșantionare, adică am dovedit teorema eșantionării.

Secțiunea următoare: Conversia digital-analogică