30.2 Notația polară
Numerele complexe pot fi, de asemenea, exprimate în notație polară, pe lângă notația dreptunghiulară tocmai descrisă. De exemplu, Fig. 30-2 prezintă trei numere complexe în formă polară, aceleași prezentate anterior în Fig. 30-1. Magnitudinea este lungimea vectorului începând de la originea și se termină la punctul complex, în timp ce unghiul de fază se măsoară între acest vector și axa-x pozitivă. Numerele complexe pot fi convertite între notarea dreptunghiulară și cea polară prin următoarele ecuații (acordând atenție nuanțelor notării polare discutate în capitolul 8):
Ecuația 30-8 Conversie dreptunghiulară-polară. Variabila complexă, A, poate fi modificată din formă dreptunghiulară: Re A & Im A, la forma polară: M & ϴ.
Ecuația 30-9 Conversie polară-dreptunghiulară.
Aceasta este modificarea numărului complex de la M & ϴ la Re A & Im A.
Aceasta creează un salt uriaș în matematică. (Da, acest lucru înseamnă că ar trebui să acordați o atenție suplimentară).
Un număr complex scris în notație dreptunghiulară este de forma: a + bj. Informațiile sunt transportate în variabilele a & b, dar numărul complex corespunzător este întreaga expresie: a + bj. În formă polară, informațiile cheie sunt conținute în M & ϴ, dar care este expresia completă pentru numărul complex corect?
Figura 30-9 Numere complexe în formă polară.
Trei exemple de puncte în planul complex sunt prezentată în coordonate polare. Figura 30-1 prezintă aceleași puncte în formă dreptunghiulară.
Cheia acestui lucru este Ec. 30-9, conversia polar-dreptunghiulară. Dacă începem cu numărul complex corespunzător, a + bj și aplicăm Ec. 30-9, obținem:
Ecuația 30-10 Numere complexe dreptunghiulare și polare.
Partea stângă este forma dreptunghiulară a unui număr complex, în timp ce partea dreaptă este reprezentarea polară.
Conversia între: M & ϴ și a & b, este dată de Ec. 30-8 și 30-9.
Expresia din stânga este descrierea dreptunghiulară corectă a un număr complex, în timp ce expresia din dreapta este descrierea polară corectă.
a+jb = M(cos ϴ + jsinϴ)
Înainte de a continua cu următorul pas, să trecem în revistă modul în care am ajuns în acest moment. Mai întâi, am dat formei dreptunghiulare a unui număr complex o reprezentare grafică, adică o locație într-un plan bidimensional. În al doilea rând, am definit termenii M & ϴ ca să fie în concordanță cu experiența noastră anterioară despre relația dintre coordonatele polare și dreptunghiulare (Ec. 30-8 și 30-9). În al treilea rând, am urmat consecințele matematice ale acestor acțiuni, ajungând la ceea ce trebuie să fie forma polară corectă a unui număr complex, adică M (cosϴ + jsinϴ). Chiar dacă această logică este simplă, rezultatul este greu de observat cu „intuiția” ”Din păcate, se înrăutățește.
Una dintre cele mai importante ecuații în matematica complexă este relația lui Euler, numită pentru cel mai inteligent și foarte prolific matematician elvețian, Leonhard Euler (1707-1783; Euler se pronunță: „Oiler”):
Ecuația 30-11 Relația lui Euler.
Aceasta este o ecuație cheie pentru utilizarea numerelor complexe în știință și inginerie.
Dacă vă plac astfel de lucruri, această relație poate fi dovedită prin dezvoltarea termenului exponențial într-o serie Taylor:
Cei doi termeni între paranteze din dreapta acestei expresii sunt seria Taylor pentru cos(x) și sin(x). Nu petreceți prea mult timp pentru această dovadă; nu o vom folosi pentru nimic.
Rescrierea Ec. 30-10 folosind relația lui Euler rezultă în cel mai obișnuit mod de exprimare a unui număr complex în notație polară, o exponențială complexă:
Ecuația 30-12 Forma exponențială a numerelor complexe.
Forma dreptunghiulară, din stânga, este egală cu forma polară exponențială, din dreapta.
Numerele complexe în această formă exponențială sunt coloana vertebrală a matematicii DSP. Începeți înțelegerea prin memorarea ec. 30-8 ... 30-12. Un avantaj puternic al utilizării acestei forme polare exponențiale este că este foarte simplu de înmulțit și împărțit numere complexe:
Ecuația 30-13 Înmulțirea numerelor complexe.
Ecuația 30-14 Împărțirea numerelor complexe.
Adică, numerele complexe în formă polară se înmulțesc prin înmulțirea magnitudinilor lor și adunarea unghiurilor lor. Cel mai simplu mod de a efectua adunarea și scăderea sub formă polară este de a converti numerele în formă dreptunghiulară, de a efectua operația și de a reconverti în polar. Numerele complexe sunt de obicei exprimate în formă dreptunghiulară în rutinele computerului, dar în formă polară la scrierea și manipularea ecuațiilor. La fel cum Re( ) și Im( ) sunt utilizate pentru a extrage componentele dreptunghiulare dintr-un număr complex, operatorii Mag( ) și Phase( ) sunt folosiți pentru extragerea componentelor polare.
De exemplu, dacă A = 5ejπ/7, atunci Mag (A) = 5 și Phase (A) = π/7.