Pentru a consolida că transformatele Laplace și -z sunt tehnici paralele, vom începe cu transformata Laplace și vom arăta cum poate fi schimbată în transformata-z. Din ultimul capitol, transformata Laplace este definită prin relația dintre semnalele din domeniul timp și din domeniul-s:

unde x(t) și X(s) sunt reprezentarea semnalului în domeniul timp și respectiv în domeniul-s. După cum s-a discutat în ultimul capitol, această ecuație analizează semnalul din domeniul timp în termeni de unde sinus și cosinus care au o amplitudine în schimbare exponențială. Acest lucru poate fi înțeles prin înlocuirea variabilei complexe, s, cu expresia sa echivalentă, σ + jω. Folosind această notație alternativă, transformata Laplace devine:

Dacă ne preocupăm doar de semnale reale din domeniu timp (cazul obișnuit), jumătățile superioară și inferioară ale planului-s sunt imagini în oglindă una cu cealaltă, iar termenul, e^-jω, se reduce la simple unde cosinus și sinus. Această ecuație identifică fiecare locație din planul-s prin cei doi parametri, σ și ω. Valoarea la fiecare locație este un număr complex, format dintr-o parte reală și o parte imaginară. Pentru a găsi partea reală, semnalul din domeniul timp este înmulțit cu o undă cosinus cu o frecvență ω și o amplitudine care se schimbă exponențial în funcție de parametrul de decădere, σ. Valoarea părții reale a lui X(σ, ω) este apoi egală cu integrala formei de undă rezultate. Valoarea părții imaginare a lui X(σ, ω) se găsește într-un mod similar, cu excepția utilizării unei unde sinus. Dacă acest lucru nu sună foarte familiar, trebuie să revedeți capitolul anterior înainte de a continua.

Transformata Laplace poate fi schimbată în transformata-z în trei pași. Primul pas este cel mai evident: schimbarea de la semnale continue la discrete. Acest lucru se face prin înlocuirea variabilei timp, t, cu numărul eșantionului, n și schimbarea integralei într-o însumare:

Observați că X(σ, ω) folosește paranteze rotunde, indicând că este continuă, nu discretă. Chiar dacă acum avem de-a face cu un semnal discret din domeniu timp, x[n], parametrii σ și ω mai pot prelua o gamă continuă de valori. Al doilea pas este rescrierea termenului exponențial. Un semnal exponențial poate fi reprezentat matematic în două moduri:

După cum este ilustrat în Fig. 33-1, ambele ecuații generează o curbă exponențială. Prima expresie controlează descompunerea semnalului prin parametrul, σ. Dacă σ este pozitiv, forma de undă va scădea ca valoare, pe măsură ce numărul eșantionului, n, devine mai mare. De asemenea, curba va crește progresiv dacă σ este negativ. Dacă σ este exact zero, semnalul va avea o valoare constantă de unu.

A doua expresie folosește parametrul, r, pentru a controla descompunerea formei de undă. Forma de undă va scădea dacă r > 1 și va crește dacă r < 1. Semnalul va avea o valoare constantă atunci când r = 1. Aceste două ecuații sunt doar modalități diferite de a exprima același lucru. O metodă poate fi schimbată cu cealaltă folosind relația:

Al doilea pas al convertirii transformatei Laplace în transformata-z este finalizat folosind cealaltă formă exponențială:

Deși aceasta este o expresie perfect corectă a transformatei-z, nu este cea mai compactă formă pentru notația complexă. Această problemă a fost depășită în transformata Laplace prin introducerea unei noi variabile complexe, s, definită a fi: s = σ+ jω. În același mod, vom defini o nouă variabilă pentru transformata-z:

Aceasta definește variabila complexă, z, ca combinație de notație polară a celor două variabile reale, r și ω. Al treilea pas în calcularea transformatei-z este înlocuirea: r și ω, cu z. Aceasta produce forma standard a transformatei-z:

De ce transformata-z folosește rⁿ în loc de e^{- σn} și z în loc de s? După cum este descris în capitolul 19, filtrele recursive sunt implementate de un set de coeficienți recursivi. Pentru a analiza aceste sisteme în domeniul z, trebuie să putem converti acești coeficienți recursivi în funcția de transfer din domeniu-z, și înapoi din nou. După cum vom arăta în scurt timp, definirea transformatei-z în acest mod (rⁿ și z) oferă cel mai simplu mijloc de a vă deplasa între aceste două reprezentări importante. De fapt, definirea domeniului-z în acest fel îl face ca să treacă ușor de la o reprezentare la alta.

FIGURA 33-2 Relația dintre planul-s și planul-z.
Planul-s este un sistem de coordonate dreptunghiular cu σ exprimând distanța de-a lungul axei reale (orizontale) și ω distanța de-a lungul axei imaginare (verticale). În comparație, planul-z este în formă polară, r fiind distanța față de origine și ω unghiul măsurat față de axa orizontală pozitivă. Liniile verticale din planul-s, cum sunt ilustrate prin exemplul de poli și zerouri din această figură, corespund cercurilor din planul-z.

Figura 33-2 ilustrează diferența dintre planul-s al transformatei Laplace și planul-z al transformatei-z. Locațiile din planul-s sunt identificate prin doi parametri: σ, variabila de descompunere exponențială de-a lungul axei orizontale și ω, variabila de frecvență de-a lungul axei verticale. Cu alte cuvinte, acești doi parametri reali sunt aranjați într-un sistem de coordonate dreptunghiulare. Această geometrie rezultă din definirea lui s, variabila complexă reprezentând poziția în planul-s, prin relația: s = σ+ jω.

În comparație, domeniul-z folosește variabilele: r și ω, aranjate în coordonate polare. Distanța de la origine, r, este valoarea descompunerii exponențiale. Distanța unghiulară măsurată de la axa orizontală pozitivă, ω, este frecvența. Această geometrie rezultă din definirea lui z prin: z = re^-jω. Cu alte cuvinte, variabila complexă care reprezintă poziția în planul-z este formată prin combinarea celor doi parametri reali într-o formă polară.

Aceste diferențe au ca rezultat linii verticale în planul-s potrivite cercurilor din planul-z. De exemplu, planul-s din Fig. 33-2 prezintă un model pol-zero în care toți poli și zerouri se află pe linii verticale. Polii și zerourile echivalente în planul-z se află pe cercuri concentrice cu originea. Acest lucru poate fi înțeles examinând relația prezentată anterior: σ = - ln (r). Pentru exemplu, axa verticală a planului-s (adică, σ = 0) corespunde cercului unitate al planului z (adică r = 1). Liniile verticale din jumătatea stângă a planului-s corespund cercurilor din interiorul Cercul unitate al planului-z. De asemenea, liniile verticale din jumătatea dreaptă a planului-s se potrivesc cu cercurile din exteriorul cercului unitate al planului-z. Cu alte cuvinte, părțile din stânga și dreapta ale planului-s corespund interiorului și exteriorului cercului unitate, respectiv. De exemplu, un sistem continuu este instabil atunci când polii ocupă jumătatea dreaptă a planului-s. În același mod, un sistem discret este instabil atunci când polii sunt în afara cercului unitate din planul-z. Atunci când semnalul din domeniu timp este complet real (cazul cel mai des întâlnit), jumătățile superioară și inferioară ale planului-z sunt imagini în oglindă una cu cealaltă, la fel ca în cazul domeniului-s.

Acordați o atenție deosebită modului în care variabila de frecvență, ω, este utilizată la cele două transformate. O sinusoidă continuă poate avea orice frecvență între DC și infinit. Aceasta înseamnă că planul-s trebuie să permită lui ω să ruleze de la minus la plus infinit. În comparație, o sinusoidă discretă poate avea doar o frecvență între DC și jumătate din rata de eșantionare. Adică, frecvența trebuie să fie cuprinsă între 0 și 0,5 atunci când este exprimată ca o fracțiune din rata de eșantionare sau între 0 și π atunci când este exprimată ca o frecvență naturală (adică, ω = 2πf). Acest lucru se potrivește cu geometria planului-z atunci când interpretăm ω să fie un unghi exprimat în radiani. Adică frecvențele pozitive corespund unghiurilor de la 0 la π radiani, în timp ce frecvențele negative corespund de la 0 până la -π radiani. Deoarece planul-z exprimă frecvența într-un mod diferit de planul-s, unii autori folosesc simboluri diferite pentru a-i distinge pe cei doi. O notație obișnuită este să folosești Ω (un omega cu majuscule) pentru a reprezenta frecvența în domeniul-z și ω (un omega cu litere mici) pentru frecvența în domeniul-s. În această lucrare vom folosi ω pentru a reprezenta ambele tipuri de frecvență, dar căutăm acest lucru în alte materiale DSP.

În planul-s, valorile care se află de-a lungul axei verticale sunt egale cu răspunsul în frecvență al sistemului. Adică, transformata Laplace, evaluată la σ = 0, este egală cu transformata Fourier. În mod analog, răspunsul în frecvență în domeniul-z se găsește de-a lungul cercului unitate. Acest lucru poate fi observat prin evaluarea transformatei-z (Ec. 33-1) la r = 1, rezultând în reducerea ecuației la transformata Fourier în timpul discret (DTFT). Aceasta plasează frecvența zero (DC) la o valoare de unu pe axa orizontală în planul-s. Frecvențele pozitive ale spectrului sunt poziționate într-un model invers acelor de ceasornic din această poziție DC, ocupând semicercul superior. La fel și frecvențele negative sunt dispuse din poziția DC de-a lungul căii în sensul acelor de ceasornic, formând semicercul inferior. Frecvențele pozitive și negative din spectru se întâlnesc în punctul comun ω = π și ω = -π. Această geometrie circulară corespunde, de asemenea, spectrului de frecvență al unui semnal discret fiind periodic. Adică, atunci când unghiul de frecvență este crescut dincolo de π, se întâlnesc aceleași valori ca între 0 și π. Când alergi într-un cerc, vezi același peisaj din nou și din nou.