Sistemele sunt analizate în domeniul timp folosind convoluția. O analiză similară se poate face în domeniul frecvență. Folosind transformata Fourier, fiecare semnal de intrare poate fi reprezentat ca un grup de unde cosinus, fiecare cu o amplitudine și defazare specificată. De asemenea, DFT poate fi folosită pentru a reprezenta fiecare semnal de ieșire într-o formă similară. Aceasta înseamnă că orice sistem liniar poate fi descris complet prin modul în care schimbă amplitudinea și faza undelor cosinus care trec prin el. Această informație se numește răspunsul în frecvență al sistemului. Deoarece atât răspunsul la impuls cât și răspunsul în frecvență conțin informații complete despre sistem, trebuie să existe o corespondență unu-la-unu între cele două. Având unul, puteți calcula pe celălalt. Relația dintre răspunsul la impuls și răspunsul în frecvență este una dintre fundamentele prelucrării semnalelor: Răspunsul în frecvență al unui sistem este transformata Fourier a răspunsului său la impuls. Figura 9-6 ilustrează aceste relații.

Ținând cont de notația standard DSP, răspunsurile la impuls utilizează variabilele cu litere mici, în timp ce răspunsurile în frecvență corespunzătoare sunt cu majuscule. Deoarece h[ ] este simbolul comun pentru răspunsul la impuls, H[ ] este utilizat pentru răspunsul în frecvență. Sistemele sunt descrise în domeniul timp prin convoluție, adică: x[n] * h[n] = y[n]. În domeniul frecvență, spectrul de intrare este înmulțit cu răspunsul în frecvență, rezultând spectrul de ieșire. Ca ecuație: X[f] × H[f] = Y[f]. Cu alte cuvinte, convoluția în domeniul timp corespunde multiplicării în domeniul frecvență.

Figura 9-7 prezintă un exemplu de utilizare a DFT pentru a transforma răspunsul la impuls al unui sistem în răspunsul său în frecvență. Figura (a) este răspunsul la impuls al sistemului. Privind această curbă nu vă va oferi cea mai mică idee despre ce face sistemul. Luând un DFT de 64 de puncte al acestui răspuns la impuls se produce răspunsul în frecvență al sistemului, prezentat în (b). Acum, funcția acestui sistem devine evidentă, trece frecvențe între 0,2 și 0,3 și rejectează toate celelalte. Este un filtru trece-bandă. De asemenea, ar putea fi examinată faza răspunsului în frecvență; totuși, este mai dificil de interpretat și puțin interesant. Acesta va fi discutat în capitolele viitoare.

Figura (b) este foarte crestată datorită numărului scăzut de eșantioane care definesc curba. Această situație poate fi îmbunătățită prin umplerea răspunsului la impuls cu zerouri înainte de a face DFT. De exemplu, adăugarea de zerouri pentru a face răspunsul la impuls lung de 512 eșantioane, cum se arată în (c), are ca rezultat răspunsul în frecvență de rezoluție mai mare, prezentat în (d).

Cât de multă rezoluție puteți obține în răspunsul în frecvență? Răspunsul este: infinit de mare, dacă sunteți dispus să împachetați răspunsul la impuls cu un număr infinit de zerouri. Cu alte cuvinte, nu există nimic care să limiteze rezoluția frecvenței, cu excepția lungimii DFT. Aceasta duce la un concept foarte important. Chiar dacă răspunsul la impuls este un semnal discret, răspunsul în frecvență corespunzător este continuu. O DFT cu N puncte a răspunsului la impuls realizează N/2 +1 eșantioane din această curbă continuă. Dacă faceți DFT mai lungă, rezoluția se îmbunătățește și veți obține o idee mai bună despre cum arată curba continuă. Amintiți-vă ce reprezintă răspunsul în frecvență: schimbările de amplitudine și de fază înregistrate de către undele cosinus în timp ce trec prin sistem. Deoarece semnalul de intrare poate conține orice frecvență între 0 și 0,5, răspunsul în frecvență al sistemului trebuie să fie o curbă continuă în acest interval.

Figura 9-6 Compararea funcționării sistemului în domeniile timp și frecvență.

În domeniul timp, un semnal de intrare este în convoluție cu un răspuns la impuls, rezultând un semnal de ieșire x[n] * h[n] = y[n]. În domeniul frecvență, un spectru de intrare este multiplicat cu un răspuns în frecvență, rezultând un spectru de ieșire X[f] x H[f] = Y[f]. DFT și DFT Inversă vizează semnalele în cele două domenii.

Figura 9-7 Găsirea răspunsului în frecvență din răspunsul la impuls.

Prin utilizarea DFT, un răspuns la impuls al sistemului (a) poate fi transformat într-un răspuns în frecvență al sistemului (b). Prim umplerea răspunsului la impuls cu zerouri (c), poate fi obținută o rezoluție mai mare a răspunsului în frecvență (d). Numai magnitudinea răspunsului în frecvență este prezentată în acest exemplu; discuția fazei este amânată până la capitolul următor.

Acest lucru poate fi mai bine înțeles prin aducerea unui alt membru al familiei de transformate Fourier, Transformata Fourier în Timp Discretă (DTFT) . Să considerăm un semnal de N eșantioane ce rulează printr-o DFT de N puncte, producând un domeniu frecvență de N/2 +1 eșantioane. Amintiți-vă din ultimul capitol că DFT consideră că semnalul din domeniul timp este infinit de lung și periodic. Adică, cele N puncte se repetă mereu de la infinit negativ la pozitiv. Acum, ia în considerare ceea ce se întâmplă atunci când începem să umplem semnalul din domeniul timp cu un număr din ce în ce mai mare de zerouri, pentru a obține o eșantionare mai fină și mai fină în domeniul frecvență. Adăugarea de zerouri face perioada domeniului timp mai lungă, făcând simultan ca eșantioanele domeniului frecvență să se apropie mai mult între ele.

Acum vom duce acest lucru la extrem, prin adăugarea unui număr infinit de zerouri la semnalul din domeniul timp. Aceasta produce o situație diferită în două privințe. În primul rând, semnalul din domeniul timp are acum o perioadă infinit de lungă. Cu alte cuvinte, s-a transformat într-un semnal aperiodic. În al doilea rând, domeniul frecvență a atins un spațiu infinit de mic între eșantioane. Adică, a devenit un semnal continuu. Aceasta este DTFT, procedura care modifică un semnal aperiodic discret într-un domeniu frecvență care este o curbă continuă. În termeni matematici, răspunsul în frecvență al unui sistem este găsit prin aplicarea DTFT răspunsului său la impuls. Deoarece acest lucru nu se poate face într-un calculator, DFT este folosită pentru a calcula o eșantionare a răspunsului real în frecvență. Aceasta este diferența dintre ceea ce faci într-un calculator (DFT) și ceea ce faci cu ecuațiile matematice (DTFT).

Secțiunea următoare: Convoluția prin intermediul domeniului frecvență