În formă matematică: dacă x[n] ↔ MagX[f] & PhaseX[f], atunci o deplasare în rezultatele din domeniu timp: x[n+s] ↔ MagX[f] & PhaseX[f] + 2πsf (unde f este exprimată ca o fracțiune a ratei de eșantionare, care variază între 0 și 0,5). În cuvinte, o deplasare a eșantioanelor s în domeniul timp lasă magnitudinea neschimbată, dar adaugă un termen liniar fazei, 2πsf. Să aruncăm o privire la un exemplu de cum funcționează.

Figura 10-3 arată cum este afectată faza când forma de undă din domeniul timp este deplasată spre stânga sau spre dreapta. Magnitudinea nu a fost inclusă în această ilustrație, deoarece nu este interesantă; nu este schimbată de deplasarea din domeniul timp. În Fig. (a) până la (d), forma de undă este treptat deplasată de la vârf centrat pe eșantionul 128, pentru a avea centrul pe eșantionul 0. Această secvență de grafice ține cont de faptul că DFT vede domeniul timp ca circular; când porțiuni ale formei de undă ies spre dreapta, ele reapar din stânga.

Forma de undă a domeniului timp din Figura 10-3 este simetrică în jurul unei axe verticale, adică părțile stânga și dreapta sunt imagini oglindite una cu alta. Așa cum am menționat în Capitolul 7, semnalele cu acest tip de simetrie se numesc cu fază liniară, deoarece faza spectrului lor de frecvență este o linie dreaptă. De asemenea, semnalele care nu au această simetrie stânga-dreapta sunt numite cu faze neliniare și au faze care sunt altceva decât o linie dreaptă. Figurile (e) până la (h) prezintă faza semnalelor din (a) până la (d). Așa cum este descris în Capitolul 7, aceste semnale de fază sunt desfășurate, permițându-le să apară fără discontinuitățile asociate cu păstrarea valorii între π și -π.

Atunci când forma de undă din domeniul timp este deplasată spre dreapta, faza rămâne o linie dreaptă, dar are o scădere a pantei. Când domeniul timp este deplasat spre stânga, există o creștere a pantei. Aceasta este principala proprietate pe care trebuie să o rețineți din această secțiune; o deplasare în domeniul timp corespunde schimbării pantei fazei.

Figurile (b) și (f) prezintă un caz unic în care faza este în întregime zero. Aceasta se întâmplă când semnalul din domeniul timp este simetric în jurul eșantionului zero. La prima vedere, această simetrie poate să nu fie evidentă în (b); se poate ca semnalul să fie simetric în jurul eșantionului 256 (adică N/2). Amintiți-vă că DFT vede domeniul timp ca circular, cu eșantionul zero conectat în mod inerent la eșantionul N-1. Orice semnal care este simetric în jurul eșantionului zero va fi, de asemenea, simetric în jurul eșantionului N/2 și invers. Atunci când se utilizează membrii familiei de transformte Fourier care nu văd domeniul timp ca periodic (cum ar fi DTFT), simetria trebuie să fie în jurul eșantionului zero pentru a produce o fază zero.

Figura 10-3 Schimbările de fază rezultând din deplasarea domeniului timp.

Figurile (d) și (h) arată ceva ca o enigmă. Mai întâi imaginați-vă că (d) a fost formată prin deplasarea formei de undă din (c) ușor mai mult spre dreapta. Aceasta înseamnă că faza din (h) ar avea o pantă ușor mai negativă decât în ​​(g). Această fază este arătată ca linia 1. Apoi, imaginați-vă că (d) a fost formată pornind de la (a) și deplasând-o spre stânga. În acest caz, faza ar trebui să aibă o pantă ușor mai pozitivă decât (e), așa cum este ilustrat de linia 2. În cele din urmă, observați că (d) este simetric în jurul eșantionului N/2 și, prin urmare, ar trebui să aibă o fază zero, după cum este ilustrat de linia 3. Care dintre aceste trei faze este corectă? Ele toate sunt, în funcție de modul în care ambiguitățile de fază π și 2π (discutate în Capitolul 8) sunt aranjate. De exemplu, fiecare eșantion din linia 2 diferă de eșantionul corespunzător din linia 1 cu un număr întreg multiplu de 2π, ceea ce le face egale. Pentru a raporta linia 3 la liniile 1 și 2, ambiguitățile π trebuie, de asemenea, luate în considerare.

Pentru a înțelege de ce faza se comportă așa cum se întâmplă, imaginați-vă deplasarea unei forme de undă cu un eșantion la dreapta. Aceasta înseamnă că toate sinusoidele care compun forma de undă trebuie, de asemenea, să fie deplasate cu un eșantion spre dreapta. Figura 10-4 prezintă două sinusoide care ar putea fi o parte a formei de undă. În (a), unda sinus are o frecvență foarte scăzută, iar o deplasare de eșantion este doar o mică parte dintr-un ciclu complet. În (b), sinusoida are o frecvență de jumătate din rata de eșantionare, cea mai mare frecvență care poate exista în datele eșantionate. O deplasare a unui eșantion la această frecvență este egală cu un întreg ciclu 1/2, sau π radiani. Adică, atunci când o deplasare este exprimată în termeni de schimbare de fază, ea devine proporțională cu frecvența sinusoidei care este deplasată.

De exemplu, luați în considerare o formă de undă simetrică în jurul eșantionului zero și, prin urmare, are o fază zero. Figura 10-5a arată modul în care faza acestui semnal se schimbă atunci când este deplasată spre stânga sau spre dreapta. La cea mai mare frecvență, jumătate din rata de eșantionare, faza crește cu π pentru fiecare deplasare a unui eșantion spre stânga și scade cu π pentru fiecare deplasare a unui eșantion spre dreapta. La frecvența zero nu există nici o schimbare de fază, iar toate frecvențele dintre urmează o linie dreaptă.

Figura 10-4 Relația între eșantioane și fază.

Figurile (a) și (b) arată sinusoide de joasă și, respectiv, înaltă frecvență. În (a) deplasarea unui eșantion este egală cu 1/32 dintr-un ciclu. În (b), deplasarea unui eșantion este egală cu 1/2 dintr-un ciclu. Iată de ce o deplasare în forma de undă schimbă faza mai mult la frecvențe înalte decât la frecvențe joase.

Figura 10-5 Faze rezultând din deplasarea domeniului timp.

Pentru fiecare eșantion cu care un semnal din domeniul timp este deplasat în direcție pozitivă (la dreapta), faza la frecvența 0,5 va descrește cu π radiani. Pentru fiecare eșantion deplasat în direcție negativă (spre stânga), faza la frecvența 0,5 va crește cu π radiani. Figura (a) prezintă aceasta pentru o fază liniară (o linie dreaptă), în timp ce (b) este un exemplu utilizând fază neliniară.

Toate exemplele pe care le-am utilizat până acum sunt fază liniară. Figura 10-5b arată că semnalele de fază neliniară reacționează la deplasare în același mod. În acest exemplu, faza neliniară este o linie dreaptă cu două impulsuri dreptunghiulare. Atunci când domeniul timp este deplasat, aceste caracteristici neliniare sunt suprapuse pur și simplu pe panta variabilă.

Ce se întâmplă în părțile reală și imaginară atunci când forma de undă din domeniul timp este deplasată? Amintiți-vă că semnalele din domeniul frecvență în notație dreptunghiulară sunt aproape imposibil de înțeles de către oameni. Părțile reală și imaginară arată de obicei oscilații aleatorii fără nici un model aparent. Atunci când semnalul din domeniul timp este deplasat, modelele de vârf ale părților reală și imaginară devin și mai oscilante și dificil de interpretat. Nu pierdeți timpul încercând să înțelegeți aceste semnale sau modul în care acestea sunt schimbate prin deplasarea domeniului timp.

Figura 10-6 este o demonstrație interesantă a informațiilor conținute în fază și a informațiilor conținute în magnitudine. Forma de undă din (a) are două trăsături foarte distincte: un front în creștere la eșantionul numărul 55 și un front descendent la eșantionul numărul 110. Fronturile sunt foarte importante atunci când informația este codificată în modelul unei forme de undă. Un front indică când se întâmplă ceva, împărțind tot ceea ce este la stânga de tot ce este în dreapta. Este vorba de informația codată în domeniul timp, în cea mai pură formă. Pentru a începe demonstrația, DFT este aplicată semnalului din (a), iar spectrul de frecvență este convertit în notație polară. Pentru a găsi semnalul din (b), faza se înlocuiește cu numere aleatorii între -π și π, iar DFT inversă se utilizează pentru a reconstrui forma de undă din domeniul timp. Cu alte cuvinte, (b) se bazează numai pe informațiile conținute în magnitudine. În mod similar, (c) se găsește înlocuind magnitudinea cu numere aleatorii mici înainte de a folosi DFT inversă. Aceasta face ca reconstrucția (c) să se bazeze exclusiv pe informațiile conținute în fază.

Figura (a) arată o formă de undă ca impuls. Semnalul în (b) este creat prin aplicarea DFT lui (a), înlocuind faza cu numere aleatoare, și făcând DFT Inversă. Semnalul în (c) este găsit prin aplicarea DFT lui (a), înlocuind magnitudinea cu numere aleatoare și făcând DFT Inversă. Locația fronturilor este reținută în (c), dar nu în (b). Aceasta arată că faza conține informația despre locația evenimentelor din semnalul în domeniul timp.

Rezultatul? Locațiile fronturilor sunt clar prezente în (c), dar total absente în (b). Acest lucru se datorează faptului că se formează un front atunci când multe sinusoide se ridică în aceeași locație, posibil numai atunci când fazele lor sunt coordonate. Pe scurt, o mare parte din informațiile despre modelul formei de undă din domeniul timp sunt cuprinse în fază, și nu în magnitudine. Acest lucru poate fi comparat cu semnalele care au informația lor codificată în domeniul frecvență, cum ar fi semnalele audio. Magnitudinea este cea mai importantă pentru aceste semnale, faza jucând doar un rol minor. În capitolele ulterioare vom vedea că acest tip de înțelegere oferă strategii pentru proiectarea filtrelor și a altor metode de procesare a semnalelor. Înțelegerea modului în care informațiile sunt reprezentate în semnale este întotdeauna primul pas în succesul DSP.

De ce simetria stânga-dreapta corespunde unei faze zero (sau liniare)? Figura 10-7 furnizează răspunsul. Un astfel de semnal poate fi descompus într-o jumătate stângă și o jumătate dreaptă, așa cum se arată în (a), (b) și (c). Eșantionul din centrul simetriei (zero în acest caz) este împărțit în mod egal între jumătățile stângă și cea dreaptă, permițând celor două fețe să fie imagini oglindite perfect între ele. Magnitudinile acestor două jumătăți vor fi identice, așa cum se arată în (e) și (f), în timp ce fazele vor fi opuse în semn, ca în (h) și (i). Două concepte importante scapă de aici. Mai întâi, fiecare semnal care este simetric între stânga și dreapta va avea o fază liniară deoarece faza neliniară a jumătății stângi anulează exact faza neliniară a jumătății drepte.

Figura 10-7 Caracteristicile fazei de simetrie stânga-dreapta.

Un semnal cu simetrie stânga-dreapta, arătat în (a), poate fi descompus într-o jumătate dreapta (b) și o jumătate stânga (c). Magnitudinile celor două jumătăți sunt identice, (e) și (f), în timp ce fazele sunt negative pentru fiecare (h) și (i).

În al doilea rând, imaginați (b) invers astfel încât devine (c). Această inversare stânga-dreapta din domeniul timp nu face nimic cu magnitudinea, dar schimbă semnul fiecărui punct din fază. De asemenea, schimbarea semnului fazei inversează semnalul din domeniul timp din stânga-la-dreapta. Dacă semnalele sunt continue, inversarea este în jurul valorii de zero. Dacă semnalele sunt discrete, inversarea este în jurul eșantionului zero și eșantionului N/2, simultan.

Schimbarea semnalului fazei este o operațiune suficient de obișnuită, căreia îi este dat nume și simbol propriu. Numele este conjugare complexă și este reprezentat prin plasarea unei stele în dreapta-sus a variabilei. De exemplu, dacă X[f] constă din MagX[f] și PhaseX[f], atunci X*[f] se numește conjugatul complex și este compus din MagX[f] și -PhaseX[f]. În notația dreptunghiulară, conjugatul complex se găsește prin lăsarea părții reale și schimbând semnul părții imaginare. În termeni matematici, dacă X[f] este compus din ReX[f] și ImX[f], atunci X*[f] este alcătuit din ReX[f] și - ImX[f].

Iată câteva exemple de utilizare a conjugatului complex în DSP. Dacă x[n] are o Transformată Fourier X[f], atunci x[-n] are o Transformată Fourier X*[f]. În cuvinte, inversarea domeniului timp stânga-dreapta corespunde schimbării de semn a fazei. Ca un alt exemplu, reamintim din capitolul 7 că corelația poate fi efectuată ca o convoluție. Aceasta se face prin inversarea unuia dintre semnale stânga-dreapta. În forma matematică, a[n] * b[n] este convoluție, în timp ce a[n] * b[-n] este corelație. În domeniul frecvență, aceste operațiuni corespund la A[f] × B[f] și A[f] × B*[f]. Ca ultim exemplu, luați în considerare un semnal arbitrar, x[n] și spectrul său de frecvență, X[f]. Spectrul de frecvență poate fi schimbat la fază zero prin înmulțirea cu conjugatul său complex, adică X[f] × X*[f]. În cuvinte, orice fază X[f] se va anula prin adăugarea opusului său (amintiți-vă, când se multiplică spectrele de frecvență, se adună fazele lor). În domeniul timp, aceasta înseamnă că x[n] * x[-n] (un semnal în convoluție cu o versiune inversată stânga-dreapta a lui) va avea simetrie stânga-dreapta în jurul eșantionului zero, indiferent ce este x[n].

Pentru mulți ingineri și matematicieni, acest tip de manipulare este DSP. Dacă doriți să fiți în măsură să comunicați cu acest grup, obișnuiți-vă să folosiți limbajul lor.

Secțiunea următoare: Natura periodică a DFT