Semnalele continue pot fi descompuse în funcții delta scalate și deplasate, la fel ca și semnalele discrete. Diferența constă în faptul că funcția delta continuă este mult mai complicată și matematic mai abstractă decât omologul său discret. În loc de a defini funcția delta continuă prin ceea ce este, o vom defini prin caracteristicile pe care le are.

Un experiment gândit va arăta cum funcționează acest lucru. Imaginați-vă un circuit electronic compus din componente lineare, cum ar fi rezistoare, condensatoare și inductoare. Conectat la intrare este un generator de semnale care produce diferite forme de impulsuri scurte. Ieșirea circuitului este conectată la un osciloscop, afișând forma de undă produsă de circuit ca răspuns la fiecare impuls de intrare. Întrebarea la care dorim să o răspundem este: cum este forma impulsului de ieșire legată de caracteristicile impulsului de intrare? Pentru a simplifica investigația, vom folosi doar impulsuri de intrare mult mai scurte decât ieșirea. De exemplu, dacă sistemul răspunde în milisecunde, am putea folosi impulsuri de intrare de numai câteva microsecunde în lungime.

După ce am făcut mai multe măsurători, ajungem la trei concluzii: În primul rând, forma impulsului de intrare nu afectează forma semnalului de ieșire. Acest lucru este ilustrat în fig. 13-1, unde diferite forme de impulsuri scurte de intrare produc exact aceeași formă a impulsului de ieșire. În al doilea rând, forma undei de ieșire este determinată total de caracteristicile sistemului, adică de valoarea și configurația rezistoarelor, condensatoarelor și inductorilor. În al treilea rând, amplitudinea impulsului de ieșire este direct proporțională cu aria impulsului de intrare. De exemplu, ieșirea va avea aceeași amplitudine pentru intrările: 1 volt pentru 1 microsecundă, 10 volți pentru 0,1 microsecunde, 1000 volți pentru 1 nanosecundă etc. Această relație permite, de asemenea, impulsuri de intrare cu arii negative. De exemplu, imaginați-vă combinația unui impuls de 2 volți cu durată de 2 microsecunde rapid urmat de un impuls de -1 volt care durează 4 microsecunde. Aria totală a semnalului de intrare este zero, rezultând că ieșirea nu face nimic.

Semnalele de intrare care sunt suficient de scurte pentru a avea aceste trei proprietăți sunt numite impulsuri. Cu alte cuvinte, un impuls este orice semnal care este în întregime zero, cu excepția unui scurt blip de formă arbitrară. De exemplu, un impuls al unui transmițător cu microunde ar putea fi în intervalul picosecunde, deoarece electronica răspunde în nanosecunde. În comparație, un vulcan care erupe de ani de zile poate fi un impuls perfect pentru schimbările geologice care durează milenii.

Matematicienilor nu le plac să fie limitați de un anumit sistem și folosesc frecvent termenul de impuls pentru a însemna un semnal suficient de scurt pentru a fi un impuls pentru orice sistem posibil. Deci, un semnal care este infinitezimal de îngust. Funcția delta continuă este o versiune normalizată a acestui tip de impuls. În mod specific, funcția delta continuă este definită matematic de trei caracteristici idealizate: (1) semnalul trebuie să fie infinitezimal de scurt, (2) impulsul trebuie să apară la moment zero și (3) impulsul trebuie să aibă o arie de unu.

Întrucât funcția delta este definită ca fiind infinitezimal de îngustă și are o arie fixă, amplitudinea este implicit infinită. Nu lăsa asta să te deranjeze; este complet neimportant. Deoarece amplitudinea face parte din forma impulsului, nu veți întâlni niciodată o problemă în care amplitudinea face vreo diferență, infinită sau nu. Funcția delta este o construcție matematică, nu un semnal real al lumii. Semnalele din lumea reală care acționează ca funcții delta vor avea mereu o durată și o amplitudine finite.

La fel ca în cazul discret, funcția delta continuă este dată de simbolul matematic: δ( ). De asemenea, ieșirea unui sistem continuu ca răspuns la o funcție delta este numită răspuns la impuls și este deseori desemnată prin: h( ). Observați că parantezele mici, ( ), sunt folosite pentru a indica semnale continue, în comparație cu parantezele mari, [ ], pentru semnale discrete. Această notație este folosită în această lucrare și oriunde în DSP, dar nu este universală. Impulsurile sunt afișate în grafice ca săgeți verticale (vezi figura 13-1d), cu lungimea săgeții indicând aria impulsului.

Pentru a înțelege mai bună a impulsurilor lumii reale, priviți cerul noaptea la o planetă și o stea, de exemplu, Marte și Sirius. Ambele apar la aceeași luminozitate și aceeași dimensiune cu ochiul liber. Motivul pentru această similitudine nu este evident, deoarece geometria de vizualizare este drastic diferită. Marte are aproximativ 6000 de kilometri diametru și 60 de milioane de kilometri de Pământ. În comparație, Sirius este de aproximativ 300 de ori mai mare și de peste un milion de ori mai departe. Aceste dimensiuni ar trebui să facă Marte să pară mai mult de trei mii de ori mai mare decât Sirius. Cum este posibil ca acestea să arate la fel?

Figura 13-1 Funcția delta continuă.

Dacă intrarea unui sistem liniar este comparată succint cu ieșirea rezultată, forma ieșirii depinde numai de caracteristicile sistemului, și nu de forma de intrare. Astfel de semnale de intrare scurte se numesc impulsuri. Figurile a, b și c ilustrează exemple de semnale de intrare care sunt impulsuri pentru acest sistem particular. Termenul funcția delta este utilizat pentru a descrie un impuls normalizat, de ex., unul care apare la t = 0 și are aria unitate. Simbolurile matematice pentru funcția delta sunt arătate în (d), o săgeată verticală și δ(t).

Aceste obiecte arată la fel pentru că sunt suficient de mici pentru a fi impulsuri pentru sistemul vizual uman. Forma percepută este răspunsul la impuls al ochiului, nu imaginea reală a stelei sau a planetei. Acest lucru devine evident atunci când cele două obiecte sunt văzute printr-un telescop mic; Marte apare ca un disc întunecat, în timp ce Sirius încă apare ca un impuls luminos. Acesta este, de asemenea, motivul pentru care stelele clipesc în timp ce planetele nu. Imaginea unei stele este suficient de mică încât poate fi blocată pentru scurt timp de particule sau de turbulențe în atmosferă, în timp ce imaginea mai mare a planetei este mult mai puțin afectată.

Secțiunea următoare: Convoluția