Figura 34-5 este ceea ce ne-am străduit, un mod sistematic de înțelegere a funcționării legii lui Benford. Cele trei semnale din stânga, domeniul logaritmic, sunt pdf(g), sf(g) și ost(g). Exemplele particulare din această figură sunt aceleași cu cele pe care le-am folosit anterior (de exemplu, figura 34-4). Aceste trei semnale sunt legate prin convoluție (Ec. 34-3), o operație matematică care nu este deosebit de ușor de rezolvat. Pentru a depăși acest lucru, transferăm problema în domeniul frecvență prin aplicarea transformatei Fourier fiecărui semnal. Folosind notația standard DSP, vom reprezenta transformatele Fourier ale pdf(g), sf(g) și ost(g), ca PDF(f), SF(f) și OST(f), respectiv. Acestea sunt prezentate în partea dreaptă a fig. 34-5.

Figura 34-5 Legea lui Benford analizată în domeniul frecvență.

În domeniul logaritmic, legea lui Benford este reprezentată ca o convoluție,
ost(g) = sf(g) * pdf(-g).
În domeniul frecvență aceasta devine o operație mult mai simplă de multiplicare, OST(f) = SF(f) x PDF(f).

Prin mutarea problemei în domeniul frecvențelor, înlocuim operația dificilă de convoluție cu operația simplă de multiplicare. Adică cele șase semnale din figura 34-5 sunt legate după cum urmează:

Un mic detaliu: transformata Fourier a pdf(g) este PDF(f), în timp ce transformarea Fourier a pdf(-g) este PDF*(f). Steluța în PDF*(f) înseamnă că este conjugatul complex al PDF(f), indicând faptul că toate valorile fazelor sunt schimbate în semn. Totuși, observați că Fig. 34-5 arată numai magnitudinea; ignorăm complet fazele. Motivul pentru acest lucru este simplu - faza nu conține informații care ne interesează pentru această problemă. Acest lucru face neimportant dacă folosim pdf(g) versus pdf(-g) sau PDF(f) versus PDF*(f).

Observați cum aceste semnale reprezintă componentele cheie ale legii lui Benford. În primul rând, există un grup de numere sau o funcție de densitate de probabilitate care poate genera un grup de numere. Acest lucru este reprezentat de pdf(g) și PDF(f). În al doilea rând, modificăm fiecare număr în acest grup sau distribuție, luând prima cifră Această acțiune este reprezentată de convoluția pdf(g) cu sf(g) sau prin înmulțirea PDF(f) cu SF(f). În al treilea rând, observăm că primele cifre au adesea o proprietate neobișnuită. Această caracteristică neobișnuită este văzută în ost(g) și OST(f).

Toate cele șase semnale au caracteristici specifice care sunt fixate de definiția problemei. De exemplu, valoarea la f = 0 în domeniul frecvență corespunde întotdeauna valorii medii a semnalului în domeniul logaritmic. În special, aceasta înseamnă că PDF(0) va fi întotdeauna egal cu unul, deoarece aria sub pdf(g) este unitate. În acest exemplu, folosim o curbă Gaussiană pentru pdf(g). Una dintre proprietățile interesante ale Gaussian este aceea că transformata lui Fourier este de asemenea un Gaussian, unilateral în acest caz, cum se arată în fig. (d). Acestea sunt legate de σ_f = 1/(2πσ_g).

Deoarece sf(g) este periodică cu o perioadă de unu, SF(f) constă dintr-o serie de vârfuri la f = 0, 1, 2, 3, ..., toate celelalte valori fiind zero. Aceasta este o pereche de transformate standard, dată de figura 13-10 din capitolul 13. Vârful zero SF(0) este valoarea medie a sf(g). Aceasta este egală cu fracțiunea de timp în care semnalul este în stare high sau log(2) - log(1) = 0,301. Vârfurile rămase au amplitudini: SF(1) = 0,516, SF(2) = 0,302, SF(3) = 0,064 și așa mai departe, așa cum s-a calculat din referința de mai sus.

În cele din urmă ajungem la ost(g) și OST(f). Dacă legea lui Benford este urmată, ost(g) va fi o linie plată cu o valoare de 0,301. Aceasta corespunde la OST(0) = 0,301, toate celelalte valori din OST(f) fiind zero. Cu toate acestea, dacă legea lui Benford nu este urmată, atunci ost(g) va fi periodică cu o perioadă de unu, așa cum se arată în figura (c). Prin urmare, OST(f) va fi o serie de vârfuri la f = 0, 1, 2, 3, ..., cu spațiul ele dintre fiind zero.

Secțiunea următoare: Rezolvarea misterului # 1