Acest lucru ne aduce la ultimul membru al familiei transformatelor Fourier: Seria Fourier. Semnalul din domeniul timp utilizat în seria Fourier este periodic și continuu. Figura 13-10 prezintă câteva exemple de forme de undă continue care se repetă de la minus la plus infinit. Capitolul 11 ​​a arătat că semnalele periodice au un spectru de frecvență format din armonici.

De exemplu, dacă domeniul timp se repetă la 1000 Hz, spectrul de frecvențe va conține o primă armonică la 1000 Hz, o a doua armonică la 2000 Hz, o a treia armonică la 3000 Hz și așa mai departe. Prima armonică, adică frecvența pe care domeniul timp se repetă, se numește și frecvența fundamentală. Aceasta înseamnă că spectrul de frecvență poate fi văzut în două moduri: (1) spectrul de frecvență este continuu, dar zero la toate frecvențele, cu excepția armonicilor; sau (2) spectrul de frecvențe este discret și definit doar la frecvențele armonice. Cu alte cuvinte, frecvențele dintre armonici pot fi considerate a avea o valoare zero sau pur și simplu nu există. Punctul important este că ele nu contribuie la formarea semnalului din domeniu timp.

Ecuația de sinteză a seriei Fourier creează un semnal periodic continuu cu o frecvență fundamentală, f, prin adunarea undelor cosinus și sinus scalate cu frecvențele: f, 2f, 3f, 4f, etc. Amplitudinile undelor cosinus sunt ținute în variabilele: a₁, a₂, a₃, a₄, etc., în timp ce amplitudinile undelor sinus sunt ținute în: b₁, b₂, b₃, b₄ și așa mai departe. Cu alte cuvinte, coeficienții "a" și "b" reprezintă părțile reală și imaginară ale spectrului de frecvență. În plus, coeficientul a₀ este utilizat pentru a păstra valoarea DC a formei de undă din domeniul timp. Aceasta poate fi privită ca amplitudinea unei unde cosinus cu frecvență zero (o valoare constantă). Uneori este grupat cu ceilalți coeficienți "a", dar este adesea tratat separat deoarece necesită calcule speciale. Nu există nici un coeficient b₀, deoarece o undă sinus de frecvență zero are o valoare constantă de zero și ar fi destul de inutil. Ecuația de sinteză este scrisă:

Ecuația 13-4 Ecuația de sinteză a seriei Fourier.
Un semnal periodic x(t) poate fi reconstruit din unde sinus și cosinus cu frecvențe care sunt multipli ai fundamentalei f. Coeficienții an și bn conțin amplitudinile undelor sinus și, respectiv, cosinus.

Ecuațiile de analiză corespunzătoare pentru seria Fourier sunt de obicei scrise în termeni de perioadă a formei de undă, notată cu T, mai degrabă decât frecvența fundamentală, f (unde f = 1/T). Deoarece semnalul din domeniul timp este periodic, corelația undelor sinus și cosinus trebuie evaluată doar într-o singură perioadă, adică -T/2 la T/2, 0 la T, -T la 0, etc. Selectarea diferitelor limite face matematica diferită, dar răspunsul final este întotdeauna același. Ecuațiile de analiză ale seriei Fourier sunt:

Figura 3-10 Exemple de serii Fourier.

Sunt prezentate șase forme de undă comune din domeniul timp, împreună cu ecuațiile de calcul a coeficienților lor.

Figura 3-11 Exemplu de calculare a seriei Fourier.
Acesta este un tren de impulsuri cu un ciclu de sarcină d = k/T. Coeficienții seriei Fourier sunt calculați prin corelarea formei de undă cu undele sinus și cosinus pe orice perioadă completă. În acest exemplu, este utilizată perioada de la -T/2 la T/2.

Fig. 13-11 prezintă un exemplu de calcul al seriei Fourier utilizând aceste ecuații. Semnalul din domeniul timp analizat este un tren de impulsuri, o undă pătrată cu durate high și low inegale. Într-o singură perioadă de la -T/2 la T/2, forma de undă este dată de:

Ciclul de sarcină al formei de undă (fracțiunea de timp în care impulsul este „high“) este dată de d = k/T. Coeficienții seriei Fourier pot fi găsiți prin evaluarea Ec. 13-5. În primul rând, vom găsi componenta DC, a₀:

Acest rezultat ar trebui să aibă un sens intuitiv; componenta DC este pur și simplu valoarea medie a semnalului. O analiză similară oferă coeficienții "a":

Coeficienții "b" sunt calculați în același mod; totuși, toți se dovedesc a fi zero. Cu alte cuvinte, această formă de undă poate fi construită utilizând numai unde cosinus, fără a fi necesare unde sinus.

Coeficienții "a" și "b" se vor schimba dacă forma de undă din domeniul timp este deplasată la stânga sau la dreapta. De exemplu, coeficienții "b" din acest exemplu vor fi zero numai dacă unul dintre impulsuri este centrat pe t = 0. Gândiți-vă la el în acest fel. Dacă forma de undă este pară (adică, simetrică în jurul lui t = 0), ea va fi compusă exclusiv din sinusoide pare, adică unde cosinus. Aceasta face ca toți coeficientii "b" sa fie egali cu zero. Dacă forma de undă este impară (adică, simetrică, dar opusă în semn în jurul lui t = 0), ea va fi compusă din sinusoide impare, adică unde sinus. Acest lucru are ca rezultat coeficienții "a" fiind zero. Când coeficienții sunt convertiți în notația polară (Mn și θn), o deplasare în domeniul timp lasă magnitudinea neschimbată, dar adaugă o componentă liniară la fază.

Pentru a completa acest exemplu, imaginați-vă un tren de impulsuri existent într-un circuit electronic, cu o frecvență de 1 kHz, o amplitudine de un volt și un ciclu de sarcină de 0,2. Tabelul din figura 13-12 furnizează amplitudinea fiecărei armonici conținute în această formă de undă. Figura 13-12 arată, de asemenea, sinteza formei de undă utilizând doar primele paisprezece dintre aceste armonice. Chiar și cu acest număr de armonici, reconstrucția nu este foarte bună. În jargonul matematic, seriile Fourier converg foarte lent. Acesta este doar un alt mod de a spune că fronturile ascuțite în forma de undă din domeniul timp au ca rezultat frecvențe foarte înalte în spectru. În cele din urmă, asigurați-vă că observați overshoot la fronturile ascuțite, adică efectul Gibbs discutat în capitolul 11.

O aplicație importantă a seriei Fourier este multiplicarea frecvenței electronic. Să presupunem că doriți să construiți un oscilator sinusoidal foarte stabil la 150 MHz. Aceasta poate fi necesară, de exemplu, într-un emițător radio care funcționează la această frecvență. Sistemele de înaltă stabilitate solicită ca circuitul să fie controlat de cristal. Adică, frecvența oscilatorului este determinată de un cristal de cuarț rezonant care face parte din circuit. Problema este că cristalele de cuarț funcționează numai la aproximativ 10 MHz. Soluția este de a construi un oscilator controlat de cristal care să funcționeze undeva între 1 și 10 MHz, și apoi să multiplicați frecvența la ceea ce aveți nevoie. Acest lucru se realizează prin distorsionarea undei sinus, cum ar fi prin tăierea vârfurilor cu o diodă sau prin rularea formei de undă printr-un circuit de tăiere. Armonicile din forma de undă distorsionată sunt apoi izolate cu filtre trece-bandă. Acest lucru permite ca frecvența să fie dublată, triplată sau înmulțită cu numere întregi chiar mai mari. Cea mai obișnuită tehnică este de a folosi etaje secvențiale de dublare și triplare pentru a genera multiplicarea frecvenței necesare, mai degrabă decât un singur etaj. Seria Fourier este importantă pentru acest tip de schemă, deoarece descrie amplitudinea semnalului multiplicat, în funcție de tipul de distorsiune și de armonica selectată.