Să presupunem că vrem să comparăm două sisteme de imagini, cu scopul de a determina care are cea mai bună rezoluție spațială. Cu alte cuvinte, vrem să știm care sistem poate detecta cel mai mic obiect. Pentru a simplifica lucrurile, am dori ca răspunsul să fie un singur număr pentru fiecare sistem. Aceasta permite o comparație directă pe care să se bazeze deciziile de proiectare. Din păcate, un singur parametru nu este întotdeauna suficient pentru a caracteriza toate aspectele subtile ale imagisticii. Aceasta este complicată de faptul că rezoluția spațială este limitată de două efecte distincte, dar interdependente: distanțarea eșantioanelor și dimensiunea diafragmei de eșantionare. Această secțiune conține două subiecte principale: (1) modul în care un singur parametru poate fi cel mai bine utilizat pentru a caracteriza rezoluția spațială și (2) relația dintre distanța eșantioanelor și dimensiunea diafragmei de eșantionare.

Figura 25-1a prezintă profiluri de la trei PSF simetrice circular: pillbox, Gaussiană și exponențială. Acestea sunt reprezentative pentru PSF-urile care se găsesc frecvent în sistemele de imagistică. Așa cum este descris în ultimul capitol, Pillbox poate rezulta dintr-un sistem de lentile necorespunzător focalizat. De asemenea, Gaussianul se formează atunci când sunt combinate erori aleatoare, cum ar fi vederea stelelor printr-o atmosferă turbulentă. O PSF exponențială este generată atunci când electronii sau razele X ating un strat de fosfor și sunt convertiți în lumină. Aceasta este utilizată în detectoare de radiații, amplificatoare de lumină pentru vizibilitate pe timp de noapte și afișaje CRT. Forma exactă a acestor trei PSF-uri nu este importantă pentru această discuție, ci doar că acestea reprezintă în general PSV-urile observate în aplicațiile din lumea reală.

PSF conține informații complete despre rezoluția spațială. Pentru a exprima rezoluția spațială printr-un singur număr, putem ignora forma PSF și pur și simplu măsurați lățimea sa. Cea mai obișnuită metodă de a specifica acest lucru este prin valoarea Full-Width-at-Half-Maximum (FWHM). De exemplu, toate PSF-urile din (a) au un FWHM de 1 unitate.

Figura 25-1 FWHM versus MTF.

Figura (a) arată profile a trei PSF găsite comun în sistemele de imagistică: (P) pillbox, (G) Gaussian și (E) exponențial. Fiecare din acestea au o FWHM de o unitate. MTF corespondente sunt arătate în (b). Din nefericire, valori similare ale FWHM nu corespund la curbe MTF similare.

Din păcate, această metodă are două dezavantaje semnificative. În primul rând, nu se potrivește cu alte măsuri de rezoluție spațială, inclusiv cu judecata subiectivă a observatorilor care văd imaginile. În al doilea rând, este de obicei foarte dificil să se măsoare direct PSF-ul. Imaginați-vă că ați trimis un impuls într-un sistem de imagistică; adică, luarea imaginii unui punct alb foarte mic pe fundal negru. Prin definiție, imaginea achiziționată va fi PSF a sistemului. Problema este că PSF măsurat va conține doar câțiva pixeli, iar contrastul său va fi scăzut. Cu excepția cazului în care sunteți foarte atent, zgomotul aleatoriu va îneca măsurarea. De exemplu, imaginați-vă că imaginea impulsului este o matrice de 512×512 a tuturor zerourilor, cu excepția unui singur pixel având o valoare de 255. Acum comparați-o cu o imagine normală în care toți cei 512×512 pixeli au o valoare medie de aproximativ 128. În termeni liberi, semnalul din imaginea impulsului este de aproximativ 100.000 de ori mai slab decât o imagine normală. Nu e de mirare că raportul semnal-zgomot va fi rău; nu prea există nici un semnal!

O temă de bază în cadrul acestei cărți este aceea că semnalele trebuie înțelese în domeniul în care informațiile sunt codate. De exemplu, semnalele audio ar trebui să fie tratate în domeniul frecvență, în timp ce semnalele de imagine ar trebui să fie manipulate în domeniul spațial. În ciuda acestui fapt, o modalitate de a măsura rezoluția imaginii este analizarea răspunsului în frecvență. Aceasta contravine filozofiei fundamentale a acestei cărți; dar, este o metodă comună și trebuie să vă familiarizați cu ea.

Aplicrea transformatei Fourier bidimensionale a PSF furnizează răspunsul în frecvență bidimensional. Dacă PSF este simetrică circular, răspunsul său în frecvență va fi, de asemenea, simetric circular. În acest caz, informații complete despre răspunsul în frecvență sunt conținute în profilul său. Adică, după calcularea domeniului frecvență prin metoda FFT, coloanele 0 la N/2 din rândul 0 sunt tot ceea ce este necesar. În jargonul imagistic, această afișare a răspunsului în frecvență se numește Modulation Transfer Function (MTF). Figura 25-1b prezintă MTF-urile pentru cele trei PSF din (a). În cazurile în care PSF nu este simetrică circular, întregul răspuns în frecvență bidimensional conține informații. Dar, este de obicei suficient să se cunoască curbele MTF în direcțiile verticală și orizontală (de exemplu, coloanele 0 până la N/2 în rândul 0 și rândurile 0 până la N/2 în coloana 0). Luați notă: această procedură de extragere a unui rând sau a unei coloane din spectrul de frecvență bidimensional nu este echivalentă cu aplicarea FFT unidimensională a profilelor prezentate în (a). Vom reveni la această problemă în curând. După cum se arată în figura 25-1, valorile similare ale FWHM nu corespund curbelor MTF similare.

Figura 25-2 prezintă un indicator al perechii de linii, un dispozitiv folosit pentru a măsura rezoluția imaginii prin MTF. Indicatoarele perechilor de linii sunt în diferite forme în funcție de aplicația particulară. De exemplu, modelul alb-negru prezentat în această figură ar putea fi utilizat direct pentru a testa camerele video. Pentru un sistem de imagistică cu raze X, nervurile ar putea fi făcute din pistă, cu un material transparent de raze X între. Caracteristica cheie este că liniile alb-negru au o distanță mai apropiată spre un capăt. Când se realizează o imagine a unui indicator de perechi de linii, liniile de la capătul spațiat mai apropiat vor fi blurate împreună, în timp ce la celălalt capăt vor fi distincte. Undeva în mijloc, liniile vor fi foarte puțin separabile. Un observator examinează imaginea, identifică această locație și citește rezoluția corespunzătoare pe scala calibrată.

Modul în care nervurile estompează împreună este important în înțelegerea limitărilor acestei măsurări. Imaginați-vă achiziționarea unei imagini a indicatorului de perechi de linii în figura 25-2. Figurile (a) și (b) prezintă exemple ale profilelor la frecvențe spațiale joase și înalte. La frecvența joasă, prezentată în (b), curba este plată pe partea superioară și inferioară, dar marginile sunt neclare, La frecvența spațială superioară (a), amplitudinea modulației a fost redusă. Aceasta este exact ceea ce curba MTF din Figura 25-1b descrie: frecvențele spațiale superioare sunt reduse în amplitudine. Nervurile individuale vor fi distinse în imagine, atâta timp cât amplitudinea este mai mare de aproximativ 3% până la 10% din înălțimea inițială. Acest lucru este legat de capacitatea ochiului de a distinge diferența scăzută de contrast dintre vârfuri și văi în prezența zgomotului imaginii.

Un avantaj puternic al măsurării cu indicatorul perechii de linii este că este simplă și rapidă. Cel mai puternic dezavantaj este că se bazează pe ochiul uman și, prin urmare, are o anumită componentă subiectivă. Chiar dacă se măsoară întreaga curbă MTF, cea mai obișnuită modalitate de a exprima rezoluția sistemului este de a estima frecvența la care MTF este redusă la 3%, 5% sau 10%. Din păcate, nu vi se va spune întotdeauna care dintre aceste valori este utilizată; fișele cu date despre produs utilizează frecvent termeni vagi, cum ar fi "rezoluția limită". Deoarece producătorii preferă ca specificațiile lor să fie pe cât de bune posibil (indiferent de ceea ce face dispozitivul de fapt), asigurați-vă și interpretați acești termeni ambigui ca însemnând 3% din curba MTF.

Un punct subtil de observat este faptul că MTF este definită în termeni de unde sinusoidale, în timp ce indicatorul de perechi de linii utilizează unde pătrate. Adică, nervurile sunt zone uniform întunecate, separate de regiuni uniform luminoase. Acest lucru este făcut pentru confortul de fabricație; este foarte dificil să se facă linii care au întunericime variind sinusoidal. Care sunt consecințele utilizării unui unde pătrate pentru a măsura MTF-ul? La frecvențe spațiale înalte, toate componentele de frecvență dar fundamentale ale undei pătrate au fost eliminate. Aceasta determină ca modularea să apară sinusoidală, așa cum este prezentat în figura 25-2a. La frecvențe joase, așa cum se arată în figura 25-2b, unda apare pătrată. Unda sinusoidală fundamentală conținută într-o undă pătrată are o amplitudine de 4/π = 1,27 ori amplitudinea undei pătrate (vezi Tabelul 13-10). Rezultatul: indicatorul de perechi de linii oferă o ușoară supraevaluare a rezoluției reale a sistemului, pornind de la o amplitudine efectivă mai mult decât negrul pur până la albul pur. Interesant, dar aproape întotdeauna ignorat.

Deoarece undeile pătrate și undele sinusoidale sunt folosite interschimbabil pentru a măsura MTF, a apărut o terminologie specială. În loc de cuvântul "ciclu", cei din imagistică folosesc termenul pereche de linii (o linie închisă lângă o linie de lumină). De exemplu, o frecvență spațială ar putea fi menționată ca 25 perechi de linii pe milimetru, în loc de 25 de cicluri pe milimetru.

Lățimea PSF nu dă bine cu percepția umană și este dificil de măsurat. Metodele MTF sunt în domeniul greșit pentru a înțelege cum rezoluția afectează informațiile codificate. Există o alternativă mai favorabilă? Răspunsul este da, line spread function (funcția de împrăștiere a liniei) LSF și răspunsul la muchie. Așa cum se arată în figura 25-3, LSF este răspunsul sistemului la o linie subțire de-a lungul imaginii. În mod similar, răspunsul la muchii este modul în care sistemul răspunde la o discontinuitate ascuțită dreaptă (o muchie). Deoarece o linie este derivata (sau prima diferențială) a unei muchii, LSF este derivata (sau prima diferențială) a răspunsului la muchie. Măsurarea singurului parametru folosită aici este distanța necesară pentru ca răspunsul la muchie să crească de la 10% la 90%.

Figura 25-3 Funcția de împrăștiere a liniei (LSF) și răspunsul de margine.

LSF este derivata răspunsului de muchie. Lățimea LSF este uzual exprimată ca FWHM. Lățimea răspunsului de muchie este uzual menționată prin distanța de la 10% la 90%.

Există numeroase avantaje pentru utilizarea răspunsului la muchie pentru măsurarea rezoluției. În primul rând, măsurarea este în aceeași formă în care sunt codate informațiile despre imagine. De fapt, principalul motiv pentru care dorești să cunoști rezoluția unui sistem este să înțelegi cum sunt neclare muchiile dintr-o imagine. Al doilea avantaj este că răspunsul la muchie este simplu de măsurat deoarece muchiile sunt ușor de generat în imagini. Dacă este necesar, LSF poate fi găsit cu ușurință prin luarea primei diferențiale a răspunsului la muchie.

Al treilea avantaj este că toate răspunsurile comune la muchii au o formă similară, chiar dacă ele pot proveni de la PSF-uri drastic diferite. Acest lucru este arătat în figura 25-4a, unde sunt afișate răspunsurile la muchii ale PSF-urilor pillbox, Gaussian și exponențială. Deoarece formele sunt similare, distanța 10%-90% este o excelentă măsurătoare de rezoluție a unui singur parametru. Al patrulea avantaj este că MTF poate fi găsită direct prin aplicarea FFT unidimensională a LSF (spre deosebire de PSF la calculul MTF unde trebuie să utilizeze o transformată Fourier bidimensională). Figura 25-4b prezintă MTF-urile corespunzătoare răspunsurilor la muchii din (a). Cu alte cuvinte, curbele din (a) sunt convertite în curbe în (b) făcând prima diferențială (pentru a găsi LSF) și apoi aplicând FFT.

Figura 25-4 Răspunsul de margine și MTF.

Figura (a) prezintă răspunsurile la muchii a trei PSF: (P) pillbox, (G) Gaussiană și (E) exponențială. Fiecare răspuns la muchie are distanța de creștere 10% la 90% de 1 unitate. Figura (b) prezintă curbele MTF corespondente, care sunt similare peste nivelul de 10%. Rezoluția limită este un termen vag indicând frecvența la care MTF are amplitudinea de 3% la 10%.

Cel de-al cincilea avantaj este că răspunsurile la muchii similare au curbele MTF similare, așa cum se arată în fig. 25-4 (a) și (b). Aceasta ne permite să convertim cu ușurință între cele două măsurători. În particular, un sistem care are un răspuns la muchie 10% -90% la distanța x, are o limitare de rezoluție (contrast de 10%) de aproximativ 1 pereche de linii pe x distanță. Unitățile "distanței" vor depinde de tipul de sistem tratat. De exemplu, luați în considerare trei sisteme diferite de imagistică care au răspunsuri de muchie 10% -90% de 0,05 mm, 0,2 miliradian și 3,3 pixeli. Nivelul de contrast 10% pe curbele MTF corespunzătoare va avea loc la aproximativ 20 lp/mm, 5 lp/milliradian și respectiv 0,33 lp/pixel.

Figura 25-5 ilustrează relația matematică dintre PSF și LSF. Figura (a) arată o PSF pillbox, o arie circulară cu valoarea 1, afișată ca albă, înconjurată de o regiune de zerouri, afișată ca gri. Un profil de PSF (adică valorile pixelilor de-a lungul unei linii trase pe centrul imaginii) va fi un impuls dreptunghiular. Figura (b) prezintă LSF corespunzătoare. După cum se arată, LSF este matematic egală cu profilul integrat al PSF. Acesta se găsește prin trecerea peste imagine într-o anumită direcție, așa cum este ilustrat de raze (săgeți). Fiecare valoare din profilul integrat este suma valorilor pixelilor de-a lungul razei corespunzătoare.

În acest exemplu, unde razele sunt verticale, fiecare punct din profilul integrat este găsit prin adăugarea tuturor valorilor pixelilor din fiecare coloană. Aceasta corespunde LSF-ului unei linii care este verticală în imagine. LSF-ul unei linii orizontale în imagine se găsește prin însumarea tuturor valorilor pixelilor din fiecare rând. Pentru imaginile continue acele concepte sunt aceleași, dar sumele sunt înlocuite de integrale.

Așa cum se arată în acest exemplu, LSF poate fi calculată direct din PSF. Totuși, PSF nu poate fi calculată întotdeauna din LSF. Aceasta se datorează faptului că PSF conține informații despre rezoluția spațială în toate direcțiile, în timp ce LSF este limitată la o singură direcție specifică. Un sistem are o singură PSF, dar un număr infinit de LSF-uri, câte una pentru fiecare unghi. De exemplu, imaginați-vă un sistem care are o PSF alungită. Aceasta face ca rezoluția spațială să fie diferită în direcțiile verticală și orizontală, ducând la LSF diferite în aceste direcții. Măsurarea LSF la un unghi nu oferă suficiente informații pentru a calcula PSF completă, cu excepția situației speciale în care PSF este simetrică circular. Multiplele măsurători LSF la diferite unghiuri fac posibilă calcularea unei PSF necirculare; totuși, matematica este destul de implicată și, de obicei, nu merită efortul. De fapt, problema calculării PSF dintr-un număr de măsurători LSF este exact aceeași problemă cu care se confruntă tomografia computerizată, discutată ulterior în acest capitol.

Ca o problemă practică, LSF și PSF nu sunt dramatic diferite pentru majoritatea sistemelor de imagistică și este foarte comun să se vadă una folosită ca aproximație pentru cealaltă. Acest lucru este și mai justificat, având în vedere că există două cazuri comune în care acestea sunt identice: PSF dreptunghiulară are o LSF dreptunghiulară (cu aceleași lățimi), iar PSF Gaussian are o LSF Gaussian (cu aceleași deviații standard).

Aceste concepte pot fi rezumate în două aptitudini: cum să evaluați o specificație de rezoluție prezentată dvs. și cum să măsurați o specificație de rezoluție proprie. Să presupunem că întâlniți o reclamă care spune: "Acest sistem va rezolva 40 perechi de linii pe milimetru". Ar trebui să interpretați acest lucru: "Un sinusoid de 40 lp/mm va avea amplitudinea sa redusă la 3% -10% din valoarea reală și va fi abia vizibilă în imagine". Ar trebui, de asemenea, să faceți calculul mental că 40 lp/mm @ 10% contrast este egal cu un răspuns la muchie de 10% -90% de 1/(40 lp/mm) = 0,025 mm. Dacă specificația MTF este pentru un nivel de contrast de 3%, răspunsul la muchie va fi de aproximativ 1,5 până la 2 ori mai larg.

Atunci când măsurați rezoluția spațială a unui sistem imagistic, pașii sunt executați invers. Plasați o muchie ascuțită în imagine și măsurați răspunsul la muchie rezultat. Distanța de 10%-90% din această curbă este cea mai bună măsurătoare cu un singur parametru a rezoluției sistemului. Pentru a vă menține șeful și oamenii de marketing fericiți, faceți prima diferențială a răspunsului la muchie pentru a găsi LSF și apoi utilizați FFT pentru a găsi MTF.

Secțiunea următoare: Spațierea de eșantionare și Diafragma de eșantionare