Fiind dat un set de numere, cel mai simplu test pentru legea lui Benford este de a număra câte numere încep cu 1. Această fracțiune va fi de aproximativ 0,301 dacă este urmată legea lui Benford. Dar, găsirea exactă a acestei valori nu este suficientă pentru a concluziona că numerele se supun legii. De exemplu, setul ar putea avea 30,1% din numere cu o valoare de 1,00 și 69,9% cu o valoare de 2,00. Putem depăși această problemă prin includerea unui test pentru inva-rianța scalei. Adică, înmulțim fiecare număr din set cu o anumită constantă și apoi numărăm câte numere încep cu 1. Dacă legea lui Benford este cu adevărat urmată, procentajul cifrelor care încep cu cifra 1 va rămâne în jur de 30,1%, indiferent de constanta pe care o folosim.

Un program de calculator poate face această procedură mai sistematic, cum ar fi exemplul din Tabelul 34-1. Acest program face bucla prin evaluare de 696 de ori, fiecare buclă înmulțind toate numerele din grup cu 1,01. În prima buclă, fiecare dintre numerele inițiale va fi înmulțit cu 1,01. În a doua buclă fiecare număr va fi înmulțit cu 1,01 din nou, în plus față de multiplicarea care a avut loc în prima buclă. Până când vom ajunge la bucla 80, fiecare număr va fi înmulțit cu 1,01 un total de 80 de ori. Prin urmare, numerele pe bucla 80 sunt aceleași cu înmulțirea fiecăruia dintre numerele originale cu 1,01⁸⁰ , sau 2.217. La finalizarea programului, numerele vor fi multiplicate de 696 de ori, echivalentul multiplicării numerelor originale cu o constantă de 1,01⁶⁹⁶ ≈ 1000. Cu alte cuvinte, acest program informatic scalează în mod sistematic datele în mici incremente, pe aproximativ trei ordine de mărime.

Fracțiunea de numere având 1 ca primă cifră este calculată la fiecare dintre acești 696 pași și stocată într-un șir, pe care o vom numi Testul Ones Scaling. Figura 34-3 prezintă valorile din această matrice pentru cele două exemple din figura 34-2. Așa cum era de așteptat, testul Ones Scaling pentru numerele de impozit pe venit este o valoare relativ constanta în jur de 30,1%, dovedind că urmează legea lui Benford foarte aproape. După cum se aștepta, testul Ones Scaling pentru generatorul de numere aleatorii arată fluctuații mari, de la 51% și până la 12%.

Figura 34-3 Testul de scalare cu unu pentru exemplele din fig. 34-2.

Testul determină fracțiunea de numere ce au prima cifră unu, atât timp cât setul de numere este multiplicat repetat cu o constantă ușor mai mare decât unitatea, cum ar fi 1,01. Dacă setul de numere urmează legea lui Benford, fracțiunea va rămâne aproape de 0,301, cum se arată în (a). Fracțiunea care se depărtează de 0,301 dovedește că numerele nu urmează legea lui Benford, cum se arată în (b).

Un punct important de observat în figura 34-3 este faptul că testul Ones Scaling este periodic, repetându-se atunci când constanta de multiplicare atinge un factor de zece. În acest exemplu, perioada este de 232 de intrări în șir, deoarece 1,01²³² ≈ 10. Să zicem că începeți cu numărul 3,12345 și înmulțiți-l cu 10 pentru a obține 31,2345. Aceste două numere, 3,12345 și 31,2345, sunt exact aceleași atunci când vă ocupați doar de prima cifră, iar întregul model se repetă.

Acordați o atenție deosebită operațiunilor din liniile 400-430 din Tabelul 34-1. Aici programul determină prima cifră a numărului evaluat. În linia 310, unul dintre cele 10.000 de numere testate este transferat la variabila: TESTX. Prima cifră a TESTX, eventual menținută în variabila LD, este calculată în patru etape. În linia 400 eliminăm semnul numărului luând valoarea absolută. Liniile 410 și 420 înmulțesc sau împart în mod repetat numărul cu un factor de zece, dacă este necesar, până când numărul este între 1 și 9,999999. De exemplu, linia 410 testează numărul dacă este mai mic de 1. Dacă este, numărul este înmulțit cu 10 și linia este repetată. Când numărul depășește în cele din urmă 1, programul se mută la următoarea linie. În linia 430 extragem partea întreagă a numărului, care este cea mai importantă cifră. Asigurați-vă că înțelegeți acești pași; ei sunt cheia pentru a înțelege ce se întâmplă cu adevărat în legea lui Benford.

Secțiunea următoare: Scrierea legii lui Benford ca o convoluție