Figura 16-1 ilustrează ideea din spatele filtrului windowed-sinc. În (a), este afișat răspunsul în frecvență al filtrului ideal low-pass. Toate frecvențele sub frecvența cutoff, fc, sunt trecute cu amplitudine unitate, în timp ce toate frecvențele mai înalte sunt blocate. Banda de trecere este perfect plată, atenuarea în banda de oprire este infinită, iar tranziția dintre cele două este infinitezimal de mică.

Aplicarea Transformatei Fourier inverse acestui răspuns ideal în frecvență produce nucleul ideal al filtrului (răspunsul la impuls) prezentat în (b). După cum s-a discutat anterior (vezi cap. 11, ec. 11-4), această curbă are forma generală, numită funcția sinc, dată de:

Convoluția unui semnal de intrare cu acest kernel de filtru oferă un filtru perfect low-pass. Problema este că funcția sinc continuă atât la minus infinit, cât și la plus infinit, fără a cădea la amplitudine zero. În timp ce această lungime infinită nu este o problemă pentru matematică , ea este un opritor pentru computere.

Pentru a rezolva această problemă, vom face două modificări ale funcției sinc în (b), rezultând forma de undă arătată în (c). Mai întâi, este trunchiată la M + 1 puncte, alese simetric în jurul lobului principal, unde M este un număr par. Toate probele din afara acestor puncte M + 1 sunt setate la zero sau pur și simplu ignorate. În al doilea rând, întreaga secvență este deplasată spre dreapta, astfel încât acesta să ruleze de la 0 la M. Acest lucru permite ca kernelul filtrului să fie reprezentat utilizând numai indicii pozitivi. În timp ce multe limbaje de programare permit indici negativi, ei sunt o problemă de utilizare. Singurul efect al acestei deplasări M/2 în kernelul filtrului este deplasarea semnalul de ieșire cu aceeași valoare.

Deoarece kernelul modificat al filtrului este doar o aproximare a kernelului ideal de filtrare, acesta nu va avea un răspuns ideal în frecvență. Pentru a găsi răspunsul în frecvență obținut, Transformata Fourier poate fi aplicată semnalului din (c), rezultând curba din (d). E o harababură! Există un ripplu excesiv în banda de trecere și o atenuare slabă în banda de oprire (amintim efectul Gibbs discutat în capitolul 11). Aceste probleme rezultă din discontinuitatea abruptă la capetele funcției sinc trunchiate. Creșterea lungimii kernelului de filtrare nu reduce aceste probleme; discontinuitatea este semnificativă, indiferent cât de lung este făcut M.

Din fericire, există o metodă simplă de îmbunătățire a acestei situații. Figura (e) prezintă o curbă înclinată lin numită fereastră Blackman. Multiplicarea funcției sinc-trunchiate, (c), cu fereastra Blackman, (e) conduce la kernelul filtrului windowed-sinc prezentat în (f). Ideea este de a reduce discontinuitatea capetelor trunchiate și, astfel, de a îmbunătăți răspunsul în frecvență. Figura (g) arată această îmbunătățire. Banda de trecere este acum plată, iar atenuarea benzii de oprire este atât de bună încât nu poate fi văzută în acest grafic.

Sunt disponibile câteva ferestre diferite, majoritatea dintre ele fiind numite după dezvoltatorii lor originali în anii 1950. Numai două merită folosite, fereastra Hamming și fereastra Blackman Acestea sunt date de:

Figura 16-1 Originea nucleului filtrului windowed-sinc.

Răspunsul în frecvență al unui filtru ideal low-pass este arătat în (a), cu nucleul de filtru corespunzător în (b), o funcție sinc. Deoarece sinc este infinit de lungă, ea trebuie trunchiată pentru a fi utilizată în computer, cum se arată în (c). Dar, această trunchiere conduce la modificări indezirabile la răspunsul în frecvență, (d). Soluția este multiplicarea sinc-trunchiată cu o fereastră netedă, (e), rezultând un nucleu de filtru windowed-sinc, (f). Răspunsul în frecvență al windowed-sinc, (g), este neted și cu un comportament frumos. Aceste figuri nu sunt la scară.

Figura 16-2a arată forma acestor două ferestre pentru (de exemplu) 51 de puncte în curbe. Care dintre aceste două ferestre ar trebui să utilizați? Este un compromis între parametri. Așa cum este prezentat în Fig. 16-2b, fereastra Hamming are roll-off aproximativ 20% mai rapidă decât Blackman. Totuși, (c) arată că Blackman are o atenuare mai bună a benzii de oprire. Pentru a fi exact, atenuarea stopband pentru Blackman este -74dB (~0,02%), în timp ce la Hamming este de numai -53dB (~ 0,2%). Deși nu poate fi văzut în aceste grafice, Blackman are un ripplu de passband de numai 0,02%, în timp ce Hamming are de obicei 0,2%. În general, Blackman ar trebui să fie prima ta alegere; o roll-off lentă este mai ușor de manevrat decât o atenuare slabă a benzii de oprire.

Există și alte ferestre despre care s-ar putea auzi, deși nu se potrivesc cu Blackman și Hamming. Fereastra Bartlett este un triunghi, folosind linii drepte pentru înclinare. Fereastra Hanning, numită și fereastra cosinus ridicată, este dată de: w[n]= 0,5 - 0,5cos(2πn/N). Aceste două ferestre au cam aceeași viteză roll-off ca Hamming, dar atenuarea mai slabă a benzii de oprire (Bartlett: -25dB sau 5,6%, Hanning -44dB sau 0,63%). S-ar putea auzi și o fereastră dreptunghiulară. Acest lucru este la fel ca nici o fereastră, doar o trunchiere a cozilor (cum ar fi în 16-1c). În timp ce roll-off este de 2,5 ori mai rapidă decât Blackman, atenuarea stopband este de numai -21dB (8,9%).

Secțiunea următoare: Proiectarea filtrului