30.5 Reprezentarea complexă a sistemelor
Figura 30-4 prezintă un exemplu de utilizare a numerelor complexe pentru a reprezenta o sinusoidă care trece printr-un sistem liniar. Vom folosi semnale continue pentru acest exemplu, deși semnalele discrete sunt gestionate la fel. Deoarece semnalul de intrare este o sinusoidă, iar sistemul este liniar, ieșirea va fi, de asemenea, o sinusoidă, și la aceeași frecvență cu intrarea. După cum se arată, semnalul de intrare exemplu are o reprezentare convențională de: 3cos(ωt + π/4) sau expresia echivalentă: 2,1213 cos(ωt) - 2,1213 sin(ωt). Când este reprezentat de un număr complex, acesta devine: 3e-jπ/4 sau 2,1213 + j2,1213. De asemenea, reprezentarea convențională a ieșirii este: 1,5cos(ωt-π/8), sau sub formă alternativă: 1,3858 cos(ωt) + 0,5740 sin(ωt). Aceasta este reprezentată de numărul complex: 1,5ejπ/8 sau 1,3858 -j0,5740.
Caracteristicile sistemului pot fi, de asemenea, reprezentate de un număr complex. Magnitudinea numărului complex este raportul între magnitudinile de intrare și de ieșire (de exemplu, Mout/Min). De asemenea, unghiul numărului complex este negativul diferenței dintre unghiurile de intrare și ieșire (adică, -[ϕout - ϕin] 4J). În exemplul folosit aici, sistemul este descris de numărul complex, 0,5ej3π/8. Cu alte cuvinte, amplitudinea sinusoidei este redusă cu 0,5, în timp ce unghiul de fază este modificat cu - 3π/8.
FIGURA 30-4
Sinusoide reprezentate de numere complexe. Numerele complexe sunt populare în DSP și electronică, deoarece sunt un mod convenabil de a reprezenta și manipula sinusoide. Așa cum se arată în acest exemplu, semnalele sinusoidale de intrare și ieșire pot fi reprezentate ca numere complexe, exprimate sub formă polară sau dreptunghiulară. În plus, schimbarea pe care un sistem liniar o face la o sinusoidă poate fi exprimată și ca un număr complex.
Numărul complex care reprezintă sistemul poate fi transformat în formă dreptunghiulară ca: 0,1913 -j 0,4619, dar trebuie să fim atenți la interpretarea a ceea ce înseamnă acest lucru. Nu înseamnă că o undă sinus care trece prin sistem este modificată în amplitudine cu 0,1913 și nici că o undă cosinus este schimbată cu -0,4619. În general, o undă sinus sau cosinus pură care intră într-un sistem liniar este convertită într-un amestec de unde sinus și cosinus.
Din fericire, matematica complexă urmărește automat acești termeni încrucișați. Când o sinusoidă trece printr-un sistem liniar, numerele complexe reprezentând semnalul de intrare și sistemul sunt înmulțite, producând numărul complex care reprezintă ieșirea. Dacă se cunosc oricare din numerele complexe, al treilea poate fi găsit. Calculele pot fi efectuate în oricare dintre forme, polară sau dreptunghiulară, așa cum se arată în Fig. 30-4.
În capitolele anterioare am descris modul în care transformata Fourier descompune un semnal în unde cosinus și sinus. Amplitudinile undelor cosinus se numesc partea reală, în timp ce amplitudinile undelor sinus se numesc partea imaginară. Am subliniat că aceste amplitudini sunt numere obișnuite, iar termenii real și imaginar sunt doar nume folosite pentru a menține cele două separate. Acum că au fost introduse numere complexe, ar trebui să fie destul de evident de unde provin numele. De exemplu, imaginați-vă că un semnal de 1024 puncte este descompus în 513 unde cosinus și 513 unde sinus. Folosind substituția, putem reprezenta spectrul prin 513 numere complexe. Dar, nu vă înșelați să credeți că aceasta este transformata Fourier complexă, subiectul capitolului 31. Aceasta este încă transformata Fourier reală; spectrul tocmai a fost plasat într-un format complex prin utilizarea substituției.