O proprietate importantă a Transformatei Fourier este că convoluția într-un domeniu corespunde multiplicării în celălalt domeniu. O parte a acestui lucru a fost discutată în ultimul capitol: semnalele din domeniu timp pot fi în convoluție prin înmulțirea spectrelor lor de frecvență. Modularea în amplitudine este un exemplu al situației inverse, înmulțirea în domeniul timp corespunde convoluției în domeniul frecvență. În plus, modularea în amplitudine oferă un excelent exemplu de modul în care frecvențele negative evazive intră în problemele de zi cu zi ale științei și ingineriei.

Semnalele audio sunt excelente pentru comunicarea pe distanțe scurte; când vorbești, cineva din cameră aude. Pe de altă parte, frecvențele radio sunt foarte bune la propagarea pe distanțe lungi. De exemplu, dacă o undă sinus de 100 volți, 1 MHz este trimisă într-o antenă, undele radio rezultate pot fi detectate în camera următoare, în următoarea țară și chiar pe următoarea planetă. Modularea este procesul de îmbinare a două semnale pentru a forma un al treilea semnal cu caracteristicile dorite ale ambelor. Aceasta implică întotdeauna procese neliniare, cum ar fi multiplicarea; nu puteți doar aduna împreună cele două semnale. În comunicațiile radio, rezultatele modulației sunt semnalele radio care se pot propaga pe distanțe lungi și pot transporta informații audio sau alte informații.

Comunicația radio este o disciplină extrem de bine dezvoltată și au fost dezvoltate multe scheme de modulare. Una dintre cele mai simple se numește modularea în amplitudine. Figura 10-14 prezintă un exemplu de modulare în amplitudine în ambele domenii timp și frecvență. Semnalele continue vor fi utilizate în acest exemplu, deoarece modularea este de obicei efectuată în domeniul electronicii analogice. Totuși, întreaga procedură ar putea fi efectuată în formă discretă dacă este necesar (forma viitorului!).

Figura (a) prezintă un semnal audio cu o polarizare DC astfel încât semnalul să aibă întotdeauna o valoare pozitivă. Figura (b) arată că spectrul său de frecvență este compus din frecvențe de la 300 Hz până la 3 kHz, intervalul necesar pentru comunicațiile vocale, plus un vârf pentru componenta DC. Toate celelalte frecvențe au fost eliminate prin filtrarea analogică. Figurile (c) și (d) prezintă unda purtătoare, o sinusoidă pură cu o frecvență mult mai mare decât semnalul audio. În domeniul timp, modularea în amplitudine constă în înmulțirea semnalului audio cu unda purtătoare. După cum se arată în (e), aceasta are ca rezultat o formă de undă oscilatorie care are o amplitudine instantanee proporțională cu semnalul audio original. În jargonul din domeniu, anvelopa undei purtătoare este egală cu semnalul de modulare. Acest semnal poate fi direcționat către o antenă, transformat în unde radio și apoi detectat de o antenă de recepție. Acest lucru are ca rezultat un semnal identic cu (e) fiind generat în electronica receptorului radio. Un circuit detector sau demodulator este apoi utilizat pentru a transforma forma de undă din (e) înapoi în forma de undă din (a).

Deoarece semnalele din domeniul timp sunt înmulțite, spectrele de frecvență corespunzătoare sunt în convoluție. Deci, (f) este găsită prin convoluția (b) & (d). Deoarece spectrul purtătoarei este o funcție delta deplasată, spectrul semnalului modulat este egal cu spectrul audio deplasat la frecvența purtătoarei. Acest lucru are ca rezultat un spectru modulat compus din trei componente: o undă purtătoare, o bandă laterală superioară și o bandă laterală inferioară.

Figura 10-14 Modularea în amplitudine.

În domeniul timp, modularea în amplitudine este realizată prin multiplicarea semnalului audio, (a), prin semnalul purtător, (c), pentru a produce semnalul modulat, (e). Deoarece multiplicarea în domeniul timp corespunde convoluției în domeniul frecvență, spectrul semnalului modulat este spectrul semnalului audio deplasat la frecvența purtătoare.

Acestea corespund celor trei părți ale semnalului audio original: componenta DC, frecvențele pozitive între 0,3 și 3 kHz și frecvențele negative între -0,3 și -3 kHz. Chiar dacă frecvențele negative din semnalul audio original sunt oarecum evazive și abstracte, frecvențele rezultate în banda laterală inferioară sunt la fel de reale pe cât ai putea dori să fie. Fantomele au luat formă umană!

Inginerii de comunicare trăiesc și mor cu acest tip de analiză a domeniului frecvență. De exemplu, luați în considerare spectrul de frecvențe pentru transmisia televiziunii. Un semnal TV standard are un spectru de frecvență de la DC la 6 MHz. Prin utilizarea acestor tehnici de deplasare a frecvenței, 82 dintre aceste canale cu lățimea de 6 MHz sunt stivuite una peste cealaltă. De exemplu, canalul 3 este de la 60 la 66 MHz, canalul 4 este de la 66 la 72 MHz, canalul 83 este de la 884 la 890 MHz, etc. Receptorul de televiziune deplasează canalul dorit înapoi la banda DC la 6 MHz pentru afișarea pe ecran. Această schemă se numește multiplexarea domeniului frecvență.

Secțiunea următoare: Transformata Fourier în timp discret