Capitolul 14 descrie o tehnică de filtrare FIR numită inversare spectrală. Acesta este un mod de a schimba nucleul filtrului astfel încât răspunsul în frecvență să fie răsucit de sus în jos. Toate benzile de trecere sunt schimbate în benzi de oprire, și invers. De exemplu, un filtru low-pass este schimbat în high-pass, un filtru band-pass în band-reject, etc. O procedură similară se poate face cu filtre recursive, deși este mult mai puțin reușită.

Așa cum este ilustrat în Fig. 33-5, inversarea spectrală se realizează scăzând ieșirea sistemului din semnalul inițial. Această procedură poate fi privită ca o combinație de două etaje în paralel, în care unul dintre etaje se întâmplă să fie sistemul identitate (ieșirea este identică cu intrarea). Folosind această abordare, se poate arăta că coeficienții „b” sunt lăsați neschimbați și coeficienții „a” modificați sunt dați de:

Figura 33-6 prezintă inversarea spectrală pentru două răspunsuri în frecvență comune: un filtru low-pass, (a) și un filtru notch, (c). Rezultă un filtru high-pass, (b) și, respectiv, un filtru band-pass, (d). Cum arată răspunsurile în frecvență rezultate? Filtrul high-pass este absolut groaznic! În timp ce band-pass este mai bun, vârful nu este la fel de ascuțit ca filtrul notch (crestătură) din care a fost derivat. Aceste rezultate mediocre sunt deosebit de dezamăgitoare în comparație cu performanțele excelente văzute în Capitolul 14. De ce este diferența? Răspunsul se află în ceva care este adesea uitat în proiectarea filtrului: răspunsul în fază.

Figura 33-6 Exemple de inversare spectrală.
Figura (a) prezintă răspunsul în frecvență a unui filtru Butterworth low-pass cu 6 poli. Figura (b) prezintă filtrul high-pass corespunzător obținut prin inversare spectrală, este o mizerie! Un caz mai de succes este arătat în (c) și (d) unde un filtru notch este transformat într-un răspuns în frecvență band-pass.

Pentru a ilustra cum este faza vinovată, considerăm un sistem numit transformatorul Hilbert. Transformatorul Hilbert nu este un dispozitiv specific, ci orice sistem care are răspunsul în frecvență: magnitudine = 1 și faza = 90 grade, pentru toate frecvențele. Aceasta înseamnă că orice sinusoidă care trece printr-un transformator Hilbert va fi neafectată în amplitudine, dar modificată în fază cu un sfert de ciclu. Transformatoarele Hilbert pot fi analogice sau discrete (adică hardware sau software) și sunt utilizate în mod obișnuit în comunicații pentru diverse tehnici de modulare și demodulare.

Acum, să presupunem că inversăm spectral transformatorul Hilbert scăzând ieșirea sa din semnalul inițial. Privind doar la magnitudinea răspunsurilor în frecvență, am concluziona că întregul sistem ar avea o ieșire zero. Adică, magnitudinea ieșirii transformatorului Hilbert este identică cu magnitudinea semnalului inițial, și cele două se vor anula. Aceasta, desigur, este complet incorect. Două sinusoide se vor anula exact numai dacă au aceeași magnitudine și fază. În realitate, răspunsul în frecvență al acestui sistem compozit are o magnitudine de zbor și un defazaj de -45 grade. În loc să fie zero (ghicitul nostru naiv), ieșirea este mai mare în amplitudine decât intrarea!

Inversarea spectrală funcționează bine în capitolul 14 din cauza tipului specific de filtru utilizat: faza zero. Adică, nucleul de filtru au o simetrie stânga-dreapta. Când nu există o defazare introdusă de un sistem, scăderea ieșirii din intrare este dictată doar de magnitudine. Deoarece filtrele recursive sunt afectate de defazaje, în general, inversarea spectrală produce filtre nesatisfăcătoare.