Figura 19-2 prezintă un exemplu de ceea ce se numește filtru low-pass cu un singur pol. Acest filtru recursiv folosește doar doi coeficienți, a₀ = 0,15 și b₁ = 0,85. Pentru acest exemplu, semnalul de intrare este o funcție treaptă. Așa cum ar trebui să vă așteptați pentru un filtru low-pass, ieșirea este o creștere netedă la nivelul stării de echilibru. Această figură arată, de asemenea, ceva care leagă cunoștințele dvs. de electronică. Acest filtru recursiv trece-jos este complet analog cu un filtru electronic low-pass compus dintr-un singur rezistor și un condensator.

Frumusețea metodei recursive este în abilitatea sa de a crea o varietate largă de răspunsuri, schimbând doar câțiva parametri. De exemplu, figura 19-3 prezintă un filtru cu trei coeficienți: a₀ = 0,93, a₁ = - 0,93 și b₁ = 0,86. După cum reiese din răspunsurile similare la treaptă, acest filtru digital imită un filtru RC electronic high-pass.

Figura 19-3 Filtru high-pass cu un singur pol

Selectarea coeficienților adecvați poate face filtrul recursiv să imite un filtru RC high-pass electronic. Aceste filtre recursive cu un singur pol pot fi utilizate în DSP întocmai cum a-ți utiliza circuite RC în electronica analogică.

Aceste filtre recursive cu un singur pol sunt cu siguranță ceva ce doriți să păstrați în setul de unelte DSP. Puteți să le utilizați pentru a procesa semnale digitale, așa cum folosiți rețele RC pentru a procesa semnale electronice analogice. Aceasta include tot ceea ce v-ați aștepta: eliminarea DC, suprimarea zgomotului de înaltă frecvență, modelarea undelor, netezirea etc. Sunt ușor de programat, rapid de executat și produc puține surprize. Coeficienții se găsesc din aceste ecuații simple:

Caracteristicile acestor filtre sunt controlate de parametrul x, o valoare între zero și unu. Din punct de vedere fizic, x este cantitatea de degradare dintre eșantioanele adiacente. De exemplu, x este 0,86 în figura 19-3, ceea ce înseamnă că valoarea fiecărui eșantion în semnalul de ieșire este 0,86 din valoarea eșantionului dinaintea lui. Cu cât valoarea lui x este mai mare, cu atât este mai lentă decăderea. Observați că filtrul devine instabil dacă x este făcut mai mare decât unu. Aceasta înseamnă că orice valoare nonzero pe intrare va face ieșirea să crească până la apariția unui prisos.

Figura 19-4 Exemplu de filtru recursiv cu un singur pol
În (a), o explozie de înaltă frecvență apare pe un semnal lent variabil. În (b), sunt utilizate filtre low-pass și high-pass cu un singur pol pentru a separa cele două componente. Filtrul low-pass utilizează x = 0,95, în timp ce filtrul high-pass este pentru x = 0,86.

Valoarea pentru x poate fi specificată direct sau găsită din constanta de timp dorită a filtrului. Așa cum R × C este numărul de secunde în care circuitul RC scade la 36,8% din valoarea sa finală, d este numărul de eșantioane necesare pentru ca un filtru recursiv să scadă la același nivel:

De exemplu, o scădere de la un eșantion la altul corespunde unei constante de timp a eșantioanelor (așa cum se arată în Fig. 19-3). Există, de asemenea, o relație fixă ​​între x și frecvența cutoff de -3dB, f_C, a filtrului digital:

Aceasta oferă trei moduri de a găsi coeficienții "a" și "b", începând cu constanta de timp, frecvența cutoff sau doar prin selectarea directă a lui x.

Figura 19-4 prezintă un exemplu de utilizare a filtrelor recursive cu un singur pol. În (a) semnalul original este o curbă netedă, cu excepția unei izbucniri a unei unde sinusoidale de înaltă frecvență. Figura (b) prezintă semnalul după trecerea prin filtrele low-pass și high-pass. Semnalele au fost separate destul de bine, dar nu perfect, ca și cum ar fi fost folosite circuite RC simple pe un semnal analogic.

Figura 19-5 prezintă răspunsurile în frecvență ale diferitelor filtre recursive cu un singur pol. Aceste curbe sunt obținute prin trecerea unei funcții delta prin filtru pentru a găsi răspunsul la impuls al filtrului. FFT este apoi utilizată pentru a converti răspunsul la impuls la răspuns în frecvență. În principiu, răspunsul la impuls este infinit de lung; totuși, aceasta scade sub zgomotul de rotunire în precizie simplă după aproximativ 15 până la 20 de constante de timp. De exemplu, când constanta de timp a filtrului este eșantioane, răspunsul la impuls poate fi conținut în aproximativ 128 eșantioane.

Caracteristica cheie din Figura 19-5 este aceea că filtrele recursive cu un singur pol au abilitate mică de a separa o bandă de frecvențe de alta. Cu alte cuvinte, ele se comportă bine în domeniul timp și sunt slabe în domeniul frecvență. Răspunsul în frecvență poate fi îmbunătățit ușor prin legarea în cascadă a mai multor etaje. Acest lucru poate fi realizat în două moduri. În primul rând, semnalul poate fi trecut prin filtru de mai multe ori. În al doilea rând, transformata-z poate fi utilizată pentru a găsi coeficienții de recurență care combină cascada într-un singur etaj. Ambele moduri lucrează și sunt utilizate în mod obișnuit. Figura (c) prezintă răspunsul în frecvență al unei cascade de patru filtre low-pass. Deși atenuarea în stopband este semnificativ îmbunătățită, roll-off este încă teribilă. Dacă aveți nevoie de performanțe mai bune în domeniul frecvență, uitați-vă la filtrele Chebyshev din capitolul următor.

Filtrul low-pass cu patru etaje este comparabil cu filtrele Blackman și Gaussian (rudele mediei mobile, Capitolul 15), dar cu o viteză de execuție mult mai rapidă. Ecuațiile de proiectare pentru un filtru low-pass cu patru etaje sunt:

Secțiunea următoare: Filtre cu bandă îngustă