La fel cum DFT are o versiune reală și una complexă, la fel și ceilalți membri ai familiei de transformate Fourier. Aceasta produce grădina zoologică a ecuațiilor prezentate în tabelul 31-1. În loc să studiezi aceste ecuații individual, încearcă să le înțelegi ca un grup bine organizat și simetric. Următoarele comentarii descriu organizarea familiei de transformate Fourier. Este detaliat, repetitiv și plictisitor. Dar, acesta este fondul necesar pentru a înțelege DSP teoretic. Studiază-l bine.

1. Patru transformate Fourier

Un semnal din domeniul timp poate fi continuu sau discret și poate fi periodic sau aperiodic. Aceasta definește patru tipuri de transformate Fourier: Transformata Fourier Discretă DFT (discretă, periodică), Transformata Fourier de timp discret DTFT (discretă, aperiodică), Seria Fourier (continuă, periodică) și Transformata Fourier (continuă, aperiodă). Nu încercați să înțelegeți raționamentul din spatele acestor nume, nu există.

Dacă un semnal este discret într-un domeniu, acesta va fi periodic în celălalt. De asemenea, dacă un semnal este continuu într-un domeniu, va fi aperiodic în celălalt. Semnalele continue sunt reprezentate prin paranteze rotunde ( ), în timp ce semnalele discrete sunt reprezentate prin paranteze drepte [ ]. Nu există nicio notare care să indice dacă un semnal este periodic sau aperiodic.

2. Real versus Complex

Fiecare dintre aceste patru transformate are o versiune complexă și o versiune reală. Versiunile complexe au un semnal complex în domeniu timp și un semnal complex în domeniu frecvență. Versiunile reale au un semnal real în domeniu timp și două semnale reale în domeniu frecvență. Atât frecvențele pozitive, cât și cele negative sunt utilizate în cazurile complexe, în timp ce numai frecvențele pozitive sunt utilizate pentru transformatele reale. Transformatele complexe sunt de obicei scrise într-o formă exponențială; dar, relația lui Euler poate fi utilizată pentru a le schimba într-o formă de cosinus și sinus, dacă este nevoie.

3. Analiza și sinteza

Fiecare transformată are o ecuație de analiză (numită și transformată directă) și o ecuație de sinteză (numită și transformată inversă). Ecuațiile de analiză descriu cum se calculează fiecare valoare din domeniul frecvență pe baza tuturor valorilor din domeniul timp. Ecuațiile de sinteză descriu modul de calculare a fiecărei valori în domeniul timp pe baza tuturor valorilor din domeniul frecvență.

4. Notația domeniului timp

Semnalele continue din domeniul timp se notează x(t), în timp ce semnale discrete din domeniul timp se notează x[n]. Pentru transformatele complexe, aceste semnale sunt complexe. Pentru transformatele reale, aceste semnale sunt reale. Toate semnalele din domeniul timp se extind de la minus infinit la plus infinit. Dar, dacă domeniul timp este periodic, ne preocupă doar un singur ciclu, deoarece restul este repetitiv. Variabilele, T și N, indică perioadele de semnal continuu și, respectiv, discret în domeniul timp.

5. Notația domeniului frecvență

Semnalele continue din domeniu frecvență se notează X(ω) dacă sunt complexe, iar ReX(ω) și ImX(ω) dacă sunt reale. Semnalele discrete din domeniu frecvență sunt notate X[k] dacă sunt complexe, ReX[k] și ImX[k] dacă sunt reale. Transformatele complexe au frecvențe negative care se întind de la minus infinit la zero și frecvențe pozitive care se întind de la zero la plus infinit.

Transformatele reale folosesc doar frecvențe pozitive. Dacă domeniul frecvență este periodic, ne preocupă doar un singur ciclu, deoarece restul este repetitiv. Pentru domenii de frecvență continuă, variabila independentă, ω, realizează o perioadă completă de la -π la π. În cazul discret, folosim perioada în care k rulează de la 0 la N-1.

6. Ecuațiile de analiză

Ecuațiile de analiză operează prin corelație, adică, înmulțind semnalul din domeniul timp cu o sinusoidă și integrând (domeniu de timp continuu) sau însumând (domeniu de timp discret) în secțiunea adecvată din domeniu timp. Dacă semnalul din domeniul timp este aperiodic, secțiunea corespunzătoare este de la minus infinit la plus infinit. Dacă semnalul din domeniul timp este periodic,

secțiunea corespunzătoare este peste orice perioadă completă. Ecuațiile prezentate aici sunt scrise cu integrarea (sau însumarea) pe perioada: 0 la T (sau 0 la N-1). Dar, orice altă perioadă completă ar da rezultate identice, Le., -T la 0, -T/2 la T/2 etc.

7. Ecuațiile de sinteză

Ecuațiile de sinteză descriu modul în care o valoare individuală din domeniul timp este calculată din toate punctele din domeniul frecvență. Acest lucru se realizează prin înmulțirea domeniului frecvență cu o sinusoidă și integrarea (domeniul frecvență continuu) sau însumarea (domeniul frecvență discret) pe secțiunea de domeniu frecvență corespunzător. Dacă domeniul frecvenț este complex și aperiodic, secțiunea corespunzătoare este de la minus infinit până la plus infinit. Dacă domeniul frecvență este complex și periodic, secțiunea corespunzătoare este de-a lungul unui ciclu complet, adică de la -π la π (domeniul frecvență continuu) sau 0 la N-1 (domeniul frecvență discrete). Dacă domeniul frecvență este real și aperiodic, secțiunea corespunzătoare este de la zero la plus infinit, adică numai frecvențele pozitive. În cele din urmă, dacă domeniul frecvență este real și periodic, secțiunea adecvată se află pe jumătate de ciclul care conține frecvențele pozitive, fie 0 până la π (domeniul frecvență continuu), fie 0 până la N/2 (domeniul frecvență discret).

8. Scalare

Pentru ca ecuațiile de analiză și sinteză să se schimbe reciproc, trebuie plasat un factor de scalare pe o ecuație sau pe alta. În tabelul 31-1, am plasat factorii de scalare cu ecuațiile de analiză. În cazul complex, acești factori de scalare sunt: ​​1/N, 1/T sau 1/2π. Deoarece transformatele reale nu utilizează frecvențe negative, factorii de scalare sunt de două ori mai mari: 2/N, 2/T sau 1/ π. Transformatele reale includ, de asemenea, un semn negativ în calculul părții imaginare al spectrului de frecvență (o opțiune folosită pentru a face transformatele reale mai în concordanță cu transformatele complexe). În cele din urmă, ecuațiile de sinteză pentru DFT reală și seria Fourier reală au instrucțiuni speciale de scalare care implică ReX(0) și ReX [N/2].

9. Variații

Aceste ecuații pot arăta diferit în alte publicații. Iată câteva variante de care trebuie să aveți grijă:

• Utilizarea lui f în loc de ω prin relația: ω = 2πf

• Integrarea pe alte perioade, cum ar fi: -T la 0, -T/2 până la T/2 sau 0 la T

• Mutarea totală sau parțială a factorului de scalare la ecuația de sinteză

• Înlocuirea perioadei cu frecvența fundamentală, fo = 1/T

• Folosirea altor nume de variabile; de exemplu, ω poate deveni Ω în DTFT, iar ReX[k] și ImX[k] pot deveni ak & bk în seria Fourier