Tensor vorticidade

Parte 1

O tensor vorticidade, em aplicações de tensores à áreas como a mecânica dos fluidos e relatividade geral, esta por sua vez aplicada à cosmologia, entre outras, é uma das parcelas que compõe o gradiente de velocidade.

O tensor de vorticidade mede qualquer tendência de linhas do espaço próximo (o “mundo físico”)

próximas torcerem-se sobre outra linha. - alienspacesciencenews.wordpress.com

Quando um fluido encontra-se em repouso, em uma escala macroscópica, nenhuma tensão tangencial atua em sua superfície. Somente existe a tensão normal, i.e., a pressão a qual é causada por forças oriunda do comportamento termodinâmico das moléculas (ou átomos, como para os gases nobres), e é mantida por colisões entre essas partículas. Denotando-se a tensão adicional por

, a qual é devida a movimento relativo na escala do contínuo, tem-se

Sendo

chamada de tensão viscosa e depende de gradientes de velocidade, sendo esses:

e são lineares sob a maioria das circunstâncias tal como gases comuns, o ar e água. Conduzindo a que, em tensores de segundo tipo, a relação linear mais geral seja

Sendo um tensor coeficiente de tipo 4. Nesse tensor, em princípio, existem 3^4=81 coeficientes. Pode-se demonstrar[1] que em um fluido isotrópico o tensor de tipo quatro é da seguinte forma:

Os oitenta e um coeficientes em , assim, reduzem-se a dois: e , e temos

e , para fluidos (pois o tratamento em relatividade geral é outro, de deformações na textura espaço-tempo e suas curvas geodésicas) são coeficientes de viscosidade dependendo empiricamente da temperatura. Note-se que o gradiente de velocidade é formado de duas partes.

onde

parte simétrica, é o tensor taxa de deformação (strain tensor [Nota 1]), e

parte antissimétrica, é o tensor vorticidade.[2][3]

Notas

1. en.wikipedia.org - Infinitesimal strain theory - Infinitesimal strain tensor

Referências

1.Barry Spain; Tensor Calculus: A Concise Course; Courier Corporation, 2003. -

books.google.com.br - pg. 96-97.

2.Lecture Notes on Fluid Dynamics (1.63J/2.21J) by Chiang C. Mei, MIT February 6, 2007. - web.mit.edu

3.Nhan Phan-Thien; Tensor Notation; Understanding Viscoelasticity, Advanced Texts in Physics 2002, pp 1-25 - Chapter 1 Tensor Notation A Working Knowledge in Tensor Analysis - www.springer.com

Parte 2

O tensor vorticidade Ω é um tensor antissimétrico. Pode ser escrito em seus componentes em termos dos componentes do gradiente velocidade em um conjunto base cartesiano retangular como segue-se:

Para Latex:

\Omega =\begin{bmatrix}

0 & \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x }{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) & \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x }{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x} \right ) \\

\frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_y }{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y} \right ) & 0 & \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_y }{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial y} \right ) \\

\frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_z }{\partial x}-\frac{\partial u_z}{\partial z} \right ) & \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_z }{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z} \right ) & 0

\end{bmatrix}

Como já sabemos, um tensor antissimétrico Aij pode ser formado de um vetor ai por escrever-se Aij=εijk+ak. O vetor associado com o tensor vorticidade desta maneira é . Portanto,

ou em notação de Gibbs,

Para Latex:

-\frac{1}{2}\omega

\Omega_{ij} dx_j=-\frac{1}{2}\varepsilon _{ijk}dx_j\omega _k

\Omega \cdot dx=-\frac{1}{2}dx \times \omega =\frac{1}{2}\omega \times dx

Isto significa que o movimento relativo em um ponto à distância infinitesimal de um ponto de referência em um fluido que é “contribuído” pelo tensor vorticidade sendo equivalente ao que é causado por uma rotação rígida com uma velocidade angular igual a

.

Para Latex: \frac{1}{2}\omega

Devido a um fluido não rotar usualmente como um corpo rígido da mesma maneira que um sólido o faz, nós podemos interpretar a afirmação acima como implicando que a velocidade angular média de um elemento fluido localizado em um ponto é metade do vetor vorticidade naquele ponto. Para demonstrar isso, consideremos uma superfície formada por um círculo de raio infinitesimal a localizado em um ponto x. Dado que o vetor unidade normal à superfície é n, e o vetor unidade tangente a qualquer ponto é t,

Aplicando o teorema de Stokes ao campo de velocidade neste círculo.

Para Latex: \int_{S} \left ( \triangledown \times u \right )\cdot ndS= \oint_{C} u\cdot t ds

Aqui, nS é um elemento de área sobre a superfície do círculo S e ds é um elemento de linha ao longo do círculo C. Devido a u.t ser o componente de velocidade ao longo da periferia do círculo, podemos escrever a velocidade linear média ao longo do círculo como

e portanto a velocidade angular média como . Do teorema de Strokes, vemos que isso é igual ao valor médio de

sobre a superfície do círculo.

Para Latex:

\frac{1}{2\pi a} \oint_{C} u\cdot t ds

\frac{1}{2\pi a^2} \oint_{C} u\cdot t ds

\left ( \frac{1}{2} \triangledown \times u \right )\cdot n

Então, no limite como raio do círculo o valor aproxima-se de zero, encontramos que a velocidade angular média do entorno do círculo aproxima-se do valor de metade do componente do vetor velocidade em uma direção perpendicular à superfície do círculo. Também podemos mostrar (ver Batchelor, pág. 82) que o momento angular de um elemento esférico de fluido é igual a vorticidade vezes o momento de inércia do fluido, apenas o que é para um corpo rígido.

Outro resultado útil é que

, o que pode ser demonstrado pelo fato que .

Para Latex:

dx_i\Omega_{ij} dx_j=0

\Omega_{ij} =-\Omega_{ji}

Referências

1. R. Shankar Subramanian ; Vorticity - web2.clarkson.edu

2. G.K. Batchelor, “An Introduction to Fluid Dynamics,” Cambridge University Press, 1967, Chapter 5. - ebooks.cambridge.org - books.google.com.br

3. C. Truesdell, “Kinematics of Vorticity,” Indiana University Press, 1954.

4. J. Serrin, “Mathematical Principles of Classical Fluid Dynamics”, Handbuch der Physik VIII/1, Ed. S. Flugge, 1959.

5. P.G. Saffman, “Vortex Dynamics,” Cambridge University Press, 1992.