O Básico da Teoria da Relatividade – I
O "Paradoxo Aparente" mais Simples de Ser Entendido em Relatividade
Neste artigo, trataremos da maneira mais didática possível o que consideramos o “paradoxo aparente” mais simples de ser explicado sobre os fenômenos físicos que envolvem a Teoria da Relatividade, no caso, a dita Especial, e procuraremos construir uma maneira divertida de apresentá-lo
Primeiramente, consideremos duas situações triviais, como uma pessoa sentada num vagão de trem em movimento, jogando a partir da palma de sua mão (na vertical em relação ao trem) um objeto, como uma bola de borracha, por exemplo.
Esta pessoa arremessará a bola a uma velocidade tal que atingirá, a partir do momento que não está mais em contato com a sua mão um metro de altura, medidos exatamete na vertical.
Esta trajetória será vista por esta pessoa, e qualquer outra que não esteja em movimento, dentro do trem, percorrendo a seguinte trajetória (aqui visto, destacando quatro momentos, instantes distantes de mesmo valor em tempo):
Nesta imagem, h é nossa altura de 1 m, v0 é nossa velocidade inicial que calcularemos. Para calcularmos com facilidade esta velocidade adequada à altura máxima ser de 1 m, consideraremos nula a resistência do ar. Temos que a aceleração da gravidade será de 9,8 m/s2.
Como neste caso a velocidade inicial da bola ao partir da mão será a mesma que atingirá ao voltar para a mão da posição máxima, podemos fazer, para unidades dos sistema internacional (m, s), a partir de um cálculo preliminar com um v0‘ nulo[1]:
h = gt2/2 .’. 1 = 9,8.t2/2 .’. t ≈ 0,45 s
Voltando ao movimento que propusemos analisar inicialmente, na ascendente:
h= h0 + v0.t + (-g).t2/2 .’. 1 = 0 + 0.0,45 – 9,8.0,452/2 .’. v0 ≈ 4,44 m/s
Observemos que este cálculo tivesse sido feito por v=gt, resultaria igualmente o mesmo valor, na descendente.
Mas caso o mesmo fenômeno seja visto por outra pessoa estática, do lado de fora do trem em movimento, será visto conforme a seguinte figura:
Onde dtb é a distância percorrida pelo trem (e pela bola) na horizontal no mesmo tempo em que a bola sobe e desce.
Digamos que o trem esteja a 80 km/h, ou aproximadamente a 22,22 m/s. Logo, em 0,9 segundos, o tempo de subida e descida da bola, esta distância será de aproximadamente 20 metros.
Caso tenhamos dentro do vagão uma lanterna, a pessoa dentro do trem, se colocar a lanterna na vertical, apontando para cima, onde coloque-se um espelho, e mantendo as mesmas alturas do fenômeno anterior, verá a luz se deslocar (formar um feixe) na seguinte configuração:
Para a altura h de 1 m, a luz pecorrerá o trajeto de ida e volta em aproximadamente 6,67 x 10-9 s.
Mas um observador externo ao trem em movimento, estático como o observador exterior do caso anterior, verá o fenômeno conforme a seguinte figura:
Aqui, dtl é a distância percorrida pelo trem enquanto a luz vai até o espelho e é refletida até a mesma posição inicial, e dl é a distância percorrida nesta diagonal pela luz.
A distância dl poderá ser calculada por simples teorema de Pitágoras:
Para a mesma velocidade do trem, de 80 km/h, a distância dtl será insignificante, mas não nula, e por isso, dl será maior que 1 metro, pois uma diagonal. O trem percorrerá nese caso uma distância de apenas 1,48 x 10-7 m.
Mas sabemos, pelo experimento de Michelson-Morley, que a velocidade da luz é constante e independente da velocidade da fonte[2], independente da velocidade dos referenciais, aliás, um dos postulados da Teoria da Relatividade Especial.[3]
Assim, torna-se um paradoxo a velocidade da luz ser diferente para o observador dentro do trem e o observador fora do trem. A única explicação, e que é tratada com os equacionamentos de Einstein, é que o trem em movimento causa uma deformação de tempo e distância, que torna as duas velocidades, da luz no movimento vertical e na diagonal, serem iguais
Para explicar didaticamente este aparente paradoxo, e que possui como solução a conclusão acima, escrevi estes versos, úteis para apresentar o básico da Relatividade Especial:
Dinael é moço faceiro,
a viajar de trem o dia inteiro.
Gosta de sentado em seu vagão,
a passar o tempo em lúdica diversão,
a jogar bola para cima e para baixo,
de sua mão ao teto, eu acho.
Como bom moço que é, sangue bão,
e amigo do hoje caipira Xicão
ao passar pela de ferro estrada,
pela janela em olhada,
abana ao amigo, sem a menor cerimônia,
pois não tem na testa o umbigo.
Curioso é, que Xicão o vê jogar a bola
descrevendo uma parábola, pasmem, uma curva,
ainda que o seja para Dinael, um arremesso reto, vertical,
ao chão normal, nem sob noite turva!
Pois newtoniana é a situação,
e a velocidade da bola ao trem do exterior visadas,
inclui movimento horizontal,
ao Xicão no barranco seu palheiro a pitar,
e tal galileana é a relatividade do sistema de coordenadas!
E como conhecem Física de colegial,
não se asombram nem num piscar!
Mas tristeza maior se dá, ao trocar a bola por lanterna,
e no teto se colar espelho,
pois sem parecer uma dúvida eterna,
e nem eu um poeta ligeiro,
exclamo sem pestenejar,
que de Dinael ainda reto e normal se propagará o feixe,
ainda que com dianeélica precisão e esmero,
e Xicão no barranco com desleixe,
o verá, garanto, como diagonal da lanterna ao espelho,
e tal será assombroso!
E não quero parecer mais chato que sou e garboso!
Mas será certo que o metro para Dinael,
podes até desenhar num nobre papel,
a Xicão será diagonal para mais de metro,
E gritará o gaúcho agora caipira:
ÊIGATE TCHÊ! VAI DE RETRO!
Pois constante é da luz a velocidade,
logo as distâncias teriam de ser iguais,
e como tanto Dinael como Xicão não são boçais,
nem tombam por ignorância como vulgar animal,
que tem de ter havido distorção espaço-temporal!
Feita a proeza, está sobre a mesa, em humildes rimas,
talento e graça, tristes sinas,
com poética elaborada e triunfal,
a base da Relatividade Restrita ou Especial!
Referências
Obs: Ao ser realizada a transferência dos artigos do Google Knol para o Anottum, houve a perda das referências deste artigo. Assim que possível, sua referenciação será recuperada e aprimorada. Contando com sua compreensão, grato.
Ligações externas
O trem de Einstein - revistaescola.abril.com.br - Interessante animação sobre algum dos paradoxos que surgem quando não se leva em conta a distorção espaço-temporal prevista pela Relatividade Especial.