Modelagem de turbulência

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Um modelo de turbulência ou uma modelagem de turbulência é a construção e o uso de um modelo para predizer os efeitos de turbulências em fluidos. Um cálculo das médias é muitas vezes usado para simplificar a solução das equações governantes de turbulência, mas modelos são necessários para representar as escalas do fluxo que não são resolvidos.[1]

O problema da oclusão

Um problema de oclusão surge nas equações de Navier-Stokes mediadas de Reynolds (RANS, Reynolds-averaged Navier-Stokes) porque o termo não linear da aceleração convectiva, conhecido como a tensão de Reynolds,

Para Latex: R_{ij}=\overline{\upsilon_i^\prime \upsilon_j^\prime}

Fechar (oclusão) a equação RANS requer modelar a tensão de Reynold .

Viscosidade de turbulência

Joseph Boussinesq foi o primeiro a aplicar isso (ou seja, a modelagem da tensão de Reynolds), introduzindo o conceito de viscosidade turbulenta. Em 1887 Boussinesq propôs relacionar a turbulência salientando o fluxo médio para fechar o sistema de equações. Aqui, a hipótese de Boussinesq é aplicada para modelar o termo das tensões de Reynolds. Note-se que uma nova constante de proporcionalidade

, a viscosidade de vórtice turbulento, foi introduzida.

Modelos deste tipo são conhecidos como modelos de viscosidade turbulenta ou EVM’s (eddy viscosity models).

Para Latex: -\overline{\upsilon_i^\prime \upsilon_j^\prime} = \nu_t\left (\frac{\partial\bar\upsilon_i}{\partial x_j}+\frac{\partial\bar\upsilon_j}{\partial x_i} \right )-\frac{2}{3}\left (K + \nu_t \frac{\partial\bar\upsilon_k}{\partial x_k} \right ) \delta_{ij}

Que pode ser escrito de maneira mais compacta como

Para Latex: -\overline{\upsilon_i^\prime \upsilon_j^\prime} = 2\nu_tS_{ij}-\frac{2}{3}K\delta_{ij}

onde é a taxa média do tensor

é a viscosidade da turbulência

é a energia cinética da turbulência

Para Latex: K = \frac{1}{2}\overline{\upsilon_i^{\prime\, 2}}

e é o delta de Kronecker.

Neste modelo, o stress adicional de turbulência é dado pelo aumento da viscosidade molecular, com uma viscosidade turbulenta.[2] Esta pode ser uma simples viscosidade turbulenta constante (que funciona bem para alguns fluxos de cizalhamento livre tal como jatos axissimétricos, jatos em duas dimensões, e as camadas de mistura).

Conceito de comprimento de mistura de Prandtl

Posteriormente, Ludwig Prandtl introduziu o conceito adicional de comprimento de mistura, juntamente com a ideia de uma camada limite. Para escoamentos turbulentos delimitados por paredess, a viscosidade turbulenta deve variar com a distância a partir da parede, portanto, a adição do conceito de "comprimento de mistura”. No modelo de fluxo de parede delimitada mais simples, a viscosidade turbulenta é dada pela equação:

Para Latex: <math>\nu_t = \left|\frac{\partial u}{\partial y}\right|l_m^2</math>

onde:

é a derivada parcial do fluxo montante (u) em relação à direção normal da parede (y);

é o comprimento de mistura.

Esse modelo simples é a base para a "lei da parede", que é um modelo surpreendentemente preciso para campos de fluxo limitados por paredes, conectados (não separados) com pequenos gradientes de pressão.

Modelos mais gerais de turbulência têm evoluído ao longo do tempo, com a maioria dos modelos de turbulência modernos sendo dados por equações de campo semelhantes às equações de Navier-Stokes.

Modelo de Smagorinsky para a escala de viscosidade turbulenta sub-malha

Imagem de uma injeção em líquido que ilustra uma simulação utilizando parcialmente um modelo de Smagorinsky no software CONVERGE. - www.ignite3d.at

Joseph Smagorinsky (1964) propôs uma fórmula útil para a viscosidade de turbulência em modelos numéricos, baseado sobre as derivadas locais do campo de velocidades e o tamanho da malha local:[3][4]

Para Latex: \nu_t = \Delta x \Delta y \sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right)^2}

Modelos de Spalart–Allmaras, k–ε e k–ω

A hipótese de Boussinesq é empregada nos modelos de Spalart Allmaras-(S-D), k–ε (k–epsilon), e k–ω (k–omega) e dispõe de um cálculo de custo relativamente baixo para a viscosidade turbulência. O modelo S-A utiliza apenas uma equação adicional para modelo de turbulência de transporte da viscosidade, enquanto os modelos k usam dois.

Referências

1. Ching Jen Chen, Shenq-Yuh Jaw (1998), Fundamentals of turbulence modeling, Taylor & Francis

2. John J. Bertin, Jacques Periaux, Josef Ballmann, Advances in Hypersonics: Modeling hypersonic flows

3. Smagorinsky, J., 1964: Implications of dynamical modelling of the general circulation on long-range forecasting. In, WMO-IUGG Symposium on Research and Development Aspects of Long-range Forecasting, Boulder, CO., WMO Technical Note 62, 131-137.

4. Smagorinsky, J., 1964: Some aspects of the general circulation. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 90(383), 1-14.

Literatura recomendada

• • Townsend, A.A. (1980) "The Structure of Turbulent Shear Flow" 2nd Edition (Cambridge Monographs on Mechanics) - books.google.com.br

  • Bradshaw, P. (1971) "An introduction to turbulence and its measurement" (Pergamon Press) - books.google.com.br

  • Wilcox C. D., (1998), "Turbulence Modeling for CFD" 2nd Ed., (DCW Industries, La Cañada)

  • Wilcox C. D., (2006), "Solutions Manual: Turbulence Modeling for CFD"; DCW Industries - books.google.com.br