Análise de escala

Análise de escala ou análise de ordem de magnitude é uma ferramenta poderosa utilizada nas ciências matemáticas para a simplificação de equações com muitos termos. Primeiro a amplitude aproximada de termos individuais nas equações é determinada. Em seguida, alguns termos desprezíveis podem ser ignorados.

math.uwaterloo.ca

Exemplo: impulso vertical em meteorologia de escala sinótica

Consideremos, por exemplo, a equação de momentum das equações de Navier-Stokes em direção coordenada vertical da atmosfera

Para Latex: {{\partial w }\over{\partial t }} + u {\frac{\partial w}{\partial x}} + v {\frac{\partial w}{\partial y}} + w {\frac{\partial w}{\partial z}} - {\frac{u^2 + v^2}{R}}= - { { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} - g +2{\Omega u \cos \varphi} + \nu \left({\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}}\right),\qquad(1)

onde R é o raio da Terra, Ω é a freqüência de rotação da Terra, g é a aceleração gravitacional, φ é latitude ρ é a densidade do ar e ν é a viscosidade cinemática do ar (que pode negligenciar a turbulência na atmosfera livre).

A corrente de jato que circunda o pólo norte da Terra viaja de oeste para leste. Mas, quando a corrente

de jato interage com uma onda de Rossby, como mostrado aqui, os ventos podem variar entre o extremo

norte e o sul, trazendo ar frio normalmente para estados ligeiramente ao sul. - NASA/GSFC

Em escala sinótica podemos esperar velocidades horizontais cerca de U = 101 ms-1 e vertical de aproximadamente W = 10-2 ms-1. A escala horizontal é de L = 106 m e escala vertical é H = 104 m. Escala de tempo típica é T = L / U = 105 s. As diferenças de pressão na troposfera são ∆P = 104 Pa e a densidade do ar ρ = 100 kg · m-3. As outras propriedades físicas são aproximadamente:

R = 6.378 × 106 m ;

Ω = 7.292 × 10-5 rad·s−1 ;

ν = 1.46 × 10−5 m2·s−1 ;

g = 9.81 m·s−2.

Estima-se os dois termos na equação (1) podendo ser feito usando as escalas:

Para Latex:\begin{align}

{{\partial w }\over{\partial t }} &\sim \frac{W}{T} \\[1.2ex]

u {\frac{\partial w}{\partial x}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad

v {\frac{\partial w}{\partial y}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad

w {\frac{\partial w}{\partial z}} &\sim W\frac{W}{H} \\[1.2ex]

{\frac{u^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} &\qquad

{\frac{v^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} \\[1.2ex]

\frac{1}{\varrho}\frac{\partial p}{\partial z} &\sim \frac{1}{\varrho}\frac{\Delta P}{H} &\qquad

\Omega u \cos \varphi &\sim \Omega U \\[1.2ex]

\nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad

\nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad

\nu \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} &\sim \nu \frac{W}{H^2}

\end{align}

Agora podemos introduzir essas escalas e seus valores na equação (1):

Para Latex: {\frac{10^{-2}}{10^5}}+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}

+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}

+10^{-2}{\frac{10^{-2}}{10^4}}

-{\frac{10^2+10^2}{10^6}}

Para Latex: = - {{\frac{1}{1}} {\frac{10^4}{10^4}} } - 10 + 2 \times 10^{-4} \times 10 + 10^{-5} \left({\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{8}}} \right).

\qquad (2)

Podemos ver que todos os termos - exceto o primeiro e a segundo no lado direito - são desprezíveis. Assim, podemos simplificar a equação do impulso vertical para a equação de equilíbrio hidrostático:

Para Latex: { { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} = - g. \qquad (3)

Referências

1. Barenblatt, G. I. (1996). Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43522-6.

2. Tennekes, H.; Lumley, John L. (1972). A first course in turbulence. MIT Press, Cambridge, Massachutes. ISBN 0-262-20019-8.

Ligações externas

• Dimensional Analysis, Scaling, and Similarity - www.math.ucdavis.edu

• Dimensional Analysis and Similarity - Introduction - The Purposes and Usefulness of Dimensional Analysis - www.mne.psu.edu

• 1. Similarity - www.efm.leeds.ac.uk

• Habib Ammari, Hyeonbae Kang; Inverse Problems, Multi-scale Analysis, and Effective Medium Theory: Workshop in Seoul, Inverse Problems, Multi-scale Analysis, And Homogenization, June 22-24, 2005, Seoul National University, Seoul, Korea; American Mathematical Soc., 2006. - books.google.com.br

• CHAPTER 2 - FLOW PAST A SPHERE I: DIMENSIONAL ANALYSIS, REYNOLDS NUMBERS, AND FROUDE NUMBERS - www.core.org.cn

• M. Bahrami Fluid Mechanics (S 09) Dimensional Analysis and Similarity - www.sfu.ca

• Dimensional Analysis & Similarity - www.sfu.ca

• Scale analysis and Reynolds numbers - www.efm.leeds.ac.uk

Vídeo

• Laminar boundary layer order of magnitude analysis - video.mit.edu