Modelos Matemáticos Simples em Evolução – III

Crescimento de Estruturas

De maneira similar a que fizemos para o número de células, no artigo Modelos Matemáticos Simples em Evolução – I, faremos outras progressões pelas gerações, para estruturas nos seres vivos, tomando quatro casos: as penas das aves, o chifre dos rinocerontes, e no caminho inverso do crescimento, o chifre dos bovinos e as presas dos elefantes.

Introdução

O exemplo das penas das aves será usado pela importância do caso na história da paleontologia, e porque marca o surgimento e evolução de um importante “filo” dos cordados, e também pelas penas serem estruturas exclusivas (hoje) destes animais. Além de que o caso da evolução das aves permite apresentar diversas falácias dos criacionistas, dos fixistas e dos defensores do “design inteligente”.

O exemplo do chifre do rinoceronte será importante pois se dá em período de tempo pequeno geologicamente falando, e os rinocerontes sem chifre algum são bem estabelecidos no tempo, assim como os rinocerontes que apresentaram os maiores chifres entre a história deste “filo“. Acrescentaremos também um caso hipotético, em que uma linhagem de rinocerontes adquire a partir do zero seu crescente chifre, chega ao máximo de tamanho evidenciado para este filo e posteriormente, decresce até o zero novamente, e veremos que tal curva igualmente é pouco abrupta e logo perfeitamente ocorrível no biológico.

O exemplo do chifre dos bovinos será usado pois independentemente de bovinos perderem seu chifres por mutações (o que por si já mostra que espécies não são fixas) mostraremos que uma estrutura de porte tão destacado pode diminuir geração após geração a pequenas variações numa taxa tão baixa que nada de miraculoso apresenta.

O último caso, das presas dos elefantes, apresentará o caso evidente aos nossos olhos e causado pela própria ação predatória humana, e que mostra como uma característica selecionada (seleção natural, mesmo incluindo o homem) rapidamente pode disseminar-se na população.[1][2]

As penas das aves

Embora o Archeopterix tenha já penas aptas e típicas de aves há 150 milhões de anos, não tem a morfologia corporal completa das aves[3], que se mostra realmente “concluida” entre 65 milhões e 13 milhões de anos atrás.

Archeopterix (Carlos Omar Rojano Díaz)

Consideraremos que independentemente da morfologia, que pode ser entendida na combinação do modelo quetrataremos em Modelos Matemáticos Simples em Evolução – I e II, o usaremos como o marco no tempo final do desenvolvimento das penas, mas tratemos de usar um descendente do Archeopterix hipotético que tenha penas extremadas e exageradas de um pavão, com 2 metros de comprimento.

Embora as primeiras formas reconhecíveis como intermediários das aves sejam as “protoavis” do Triássico Superior, entre 225 e 210 milhões de anos atrás, e já possuem penas desenvolvidas, e os Archeosauros, sendo o “nascimento” do filo das aves, que são da extinção Permiano-Triássica.

Representação artística de protoavis.

Assim, para reduzir a variável tempo, e fazer mais forte nossa argumentação, consideraremos este menor período de tempo, entre 210 e 65 milhões de anos, o que dá 145 milhões de anos, e partamos de um comprimento de penas nulo. Também consideremos que cada geração de nossas aves seja de 10 anos, o que dá na verdade um número mais próximo de mamíferos de relativamente grande porte.

Assim, teremos pela equação das progressões aritméticas[4]:

A_n= A₁ + (n + 1).r

um número de 14,5 milhões de gerações, no qual será acrescido à escama inicial em modificação (até ao nível microscópico o que uma pena é) um comprimento de 2 metros, o que resulta de um crescimento de aproximadamente 1,38 x 10^-7 m, ou 1,38 x 10^-4 mm por geração.

Mesmo que as gerações ocorram a cada 1000 anos, o que seriam umas 10 vezes o que seja a vida dos animais mais longevos, como as tartarugas, ainda sim o número de gerações seria de 145 mil, e consequentemente, o crescimento entre as gerações seria de apenas 0,014 mm.

Mesmo um crescimento, agora “aos saltos” entre as gerações, se equiparado à uma progressão geométrica, num valor mediano da progressão, com apenas 1 mm de comprimento a ser modificado, resultaria num acréscimo de apenas 1,4% e que pode ser comparado à normal variação das penas entre galinhas, e se mostrar uma variância insignificante (como sempre destaco, “não milagrosa”).

O chifre dos rinocerontes

Para o caso do chifre dos rinocerontes, consideraremos uma leve saliência óssea no focinho (ainda que os chifres dos rinocerontes não sejam estruturas ósseas, e sim, a fusão de pelos), que funcione como atrativo sexual ou ferramenta para qualquer fim, e a consideremos com apenas 1 cm de altura, o que parece minimamente destacado, e cheguemos ao chifre exageradamente grande de 2 m do maior dos rinocerontes, o Elasmotério[5], que poderemos colocar como existente há 200 mil anos[5], este chifre se desenvolveria ao longo de não mais de 30 milhões de anos, entre o primeiro rinoceronte propriamente dito, oHyrachyus[6], no Eoceno, há 55,8 +/- 0,2 a 33,9 +/- 0,1 milhões de anos. Mas consideremos 33 milhões de anos para tornar o nosso modelo mais “crítico”.

A_n=q^n-1.A₁

A₁= 1 cm

A_n= 200 cm

n=33000000/100=330000 gerações .’. 200=q³²⁹⁹⁹⁹.1 .’. q=200^(1/329999)

q=~1,0000161=~1,61 x 10^-3 % a cada geração

Deste modo, considerando mesmo gerações absurdas de 100 anos (rinocerontes tem gerações muito mais curtas) teremos pouco mais de 300 mil gerações, que por progressão geométrica nos dá uma taxa de aproximadamente pouco menos de dois milésimos de porcento de variação a cada geração.

Hyrachyus e Elasmotherium (catalogue-of-organisms.blogspot.com,

ivorybill.com macroevolution.narod.ru e www.theequinest.com).

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O chifre dos bovinos

Para o caso do chifre dos bovinos, consideremos um touro hipotético atual com chifres de 2 metros cada um (note-se o exagero). Consideraremos gerações de 20 anos, o que também é um valor exagerado entre as gerações de bovinos e deduziremos em quanto tempo estes chifres reduzem-se a chifres curtos de 10 cm (aqui apenas um tamanho tomado arbitrariamente).

A₁= 200 cm

A_n= 10 cm

Tomemos uma taxa de variação metade da obtida para o chifre dos rinocerontes.

taxa obtida para os rinocerontes = 1,91 x 10^-3 % crescente

taxa arbitrada para os bovinos = 8,05 x 10^-4 % decrescente

q=0,99999195 .’. 10=0,99999195^(n-1).200 .’. ln 0,05 = (n-1).ln 0,99999195

n-1≈372.139,16 .’. n≈372141

t≈7,44 milhões de anos

Variedade de tamanhos de chifres de bovinos (indianbuffalohorn.com).

Assim, em pouco menos de 8 milhões de anos, mesmo a taxa tão baixa e gerações tão duradouras os chifres de um bovino podem reduzir-se a 1/20 (é de se observar que o mesmo poderia ser aplicado para uma galhada de alce gigante, Megaloceros[7], até chegar-se nos alces atuais ou inversamente, em ambos os casos, em crescimento dos chifres ou galhadas).

Megalocerus, representação em computação gráfica (www.avph.com.br).

As presas dos elefantes

Para o caso das presas dos elefantes, não consideraremos uma progressão mínima calculável, uma modificação gradual, mas uma modificação induzida pela seleção dentro da variabilidade do comprimento das presas dos elefantes.

Consideremos que os machos apenas sejam caçados, as fêmeas mantenham um comprimento constante e que a geração de machos posterior tenha a média dos comprimentos das presas dos pais.

Consideremos que a seleção se dê pelos machos sobreviventes com comprimento 5% menor.

Observemos que em 160 anos, para gerações de 20 anos, o comprimento das presas marfins dos machos, mesmo com preservação das fêmeas, decairá quase 20% em comprimento.

Observe-se que a presas marfins não necessariamente tendem à média entre pai e mãe, e pode ser transmitido diretamente em comprimento aos filhos.

Igualmente observe-se que aqui as gerações foram feitas “fechadas”, como se apenas a cada 20 anos os elefantes sobreviventes cruzassem, quando na verdade as populações reproduzem-se constantemente, produzindo indivíduos descendentes de pais sob o processo de seleção que apresentamos.

Presas de mastodonte, representação e achado fóssil, ilustrando a enorme

variedade de tamanhos de presas que já existiu neste filo (g1.globo.com).

Referências

Obs: Ao ser realizada a transferência dos artigos do Google Knol para o Anottum, houve a perda das referências deste artigo. Assim que possível, sua referenciação será recuperada e aprimorada. Contando com sua compreensão, grato.

Ver também

• Modelos Matemáticos Simples em Evolução – I

Progressão geométrica do número de células ao longo da história.

• Modelos Matemáticos Simples em Evolução – II

O aumento da complexidade do ponto de vista de combinações possíveis.

Artigos recomendados no Knol

• • Martyniuk, Matthew. The First Birds:An introduction to the prehistoric long-tailed birds [Internet]. Version 34. Knol. 2010 Feb 25. Available from:http://knol.google.com/k/matthew-martyniuk/the-first-birds/2fd7yyjlqgx8q/2.