Análise das constantes de transferência convectiva da camada limite

Uma tradução e melhorias na divisão do artigo da Wikipedia em inglês.

Convective Transfer Constants from Boundary Layer Analysis

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Paul Richard Heinrich Blasius derivou uma solução exata para as equações da camada limite laminar.[1] A espessura da camada limite é uma função do número de Reynolds de fluxo laminar.

Para Latex: \delta \approx {5.0 * x \over \sqrt {Re}}

= a espessura da camada limite: a região do fluxo onde a velocidade é menor que 99% do campo de velocidade distante ; é a posição ao longo da placa semi-infinita, e é o número de Reynolds dado por

( densidade e viscosidade dinâmica).

A solução de Blasius usa condições de contorno em uma forma adimensional:

em

Para Latex: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {v_x \over v_\infty} = {v_y\over v_\infty}= 0</math>{{space|5}}

em e

Para Latex: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {v_x \over v_\infty} = 1</math>{{space|5}}

Velocidade na camada limite (acima, em laranja) e as temperaturas de camada limite (em baixo, em verde) compartilham um mesmo perfil como função, devido à semelhança entre os balanços de momentum e de energia térmica e condições de contorno.

Note-se que, em muitos casos, a condição de contorno sem deslizamento sustenta que

, a velocidade do fluido na superfície da placa, é igual à velocidade da placa em todos os locais. Se a placa não está em movimento, então

. Uma derivação muito mais complicada é necessária se o deslizamento fluido é permitido.[2]

De fato, a solução de Blasius para o perfil de velocidade laminar da camada limite acima de uma placa semi-infinita pode ser facilmente estendida para descrever as camadas de fronteira térmica e de concentração para a transferência de calor e massa, respectivamente. Ao contrário do balanço de momentum diferencial em x (equação do movimento), esta usa uma derivação similar de balanço de massa e energia:

Energia:

Para Latex: v_x {\partial T \over \partial x} + v_y {\partial T \over \partial y} = {k \over \rho Cp}{\partial^2 T \over \partial y^2}

Massa:

Para Latex: v_x {\partial c_A \over \partial x} + v_y {\partial c_A \over \partial y} = D_{AB}{\partial^2 c_A \over \partial y^2}

Para o balanço de momentum, a velocidade cinemática

pode ser considerada como sendo a difusividade de momentum. No balanço de energia esta é substituída pela difusividade térmica

, estas equações tornam-se equivalente ao balanço de momentum. Então, para o número de Prandtl e número de Schmidt

com ou (temperatura absoluta ou concentrações da espécie A). O subscrito S denota a condição de superfície.

em

Para Latex: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}}= 0

em e

Para Latex: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}} = 1

Usando-se a função de corrente de Blasius obtida da seguinte solução para a tensão de cisalhamento na superfície da placa.

Para Latex: \tau_0 = \left( {\partial v_x \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {v_\infty \over x} Re^{1/2}

E via as condições de contorno, é conhecido que

Para Latex: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}}

São dadas as seguintes relações para o fluxo de calor/massa externos à superfície da placa

Para Latex: \left( {\partial T \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {T_\infty - T_S \over x} Re^{1/2}

Para Latex: \delta =\delta _T= \delta _c= {5.0*x\over\sqrt{Re}}

Onde são as regiões do fluxo onde e são menos que 99% de seus valores distantes no campo.[3]

Devido ao número de Prandtl de um fluido em particular não ser frequentemente unitário, o engenheiro alemão E. Polhausen, que trabalhou com Ludwig Prandtl, tentou estender empiricamente estas equações para serem aplicáveis para

. Estes resultados podem ser aplicados a também.[4] Ele constatou que, para o número de Prandtl superior a 0,6 , a espessura da camada de fronteira térmica é aproximadamente dada por:

e consequentemente

Para Latex: {\delta \over \delta_T} = Pr^{1/3}

{\delta \over \delta_c} = Sc^{1/3}

Grafico mostrando a espessura relativa na camada limite térmica versus a camada limite de velocidade (em vermelho) para vários números de Prandtl. Para , as duas são iguais.

A partir desta solução, é possível caracterizar as constantes de transferência de calor/massa convectivas com base na região de fluxo da camada limite. A lei de Fourier da condução e a lei do resfriamento de Newton são combinadas com o termo do fluxo derivado acima e a espessura da camada limite.

Para Latex: {q\over A} = -k \left({\partial T \over \partial y} \right)_{y=0} = h_x(T_S-T_\infty)

Para Latex: h_x = 0.332{k \over x} Re^{1/2}_x Pr^{1/3}

Isto resulta na constante convectiva local em um ponto sobre o plano semi-infinito. Integrando-se sobre o comprimento da placa resulta na média

= constante da transferência de massa convectiva, = difusividade da espécie A na espécie B, ), as seguintes soluções são obtidas:

Para Latex: k'_x = 0.332{D_{AB} \over x} Re^{1/2}_x Sc^{1/3}

Para Latex: k'_L = 0.664{D_{AB} \over x} Re^{1/2}_L Sc^{1/3}

Estas soluções aplicam-se para fluxo laminar com um número de Prandtl/Schmidt maior que 0,6.[3]

Referências

1. Blasius, H. (1908). "Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung". Z. Math. Phys. 56: 1–37.

2. Martin, Michael J. Blasius boundary layer solution with slip flow conditions. AIP conference proceedings 585.1 2001: 518-523. American Institute of Physics. 24 Apr 2013.

3. Geankoplis, Christie J. Transport Processes and Separation Process Principles: (includes Unit Operations). Fourth ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Professional Technical Reference, 2003.

4. Pohlhausen, E. (1921), Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner Wärmeleitung. Z. angew. Math. Mech., 1: 115–121. doi: 10.1002/zamm.19210010205