Perpendicularitate in spatiu. Calculul distantelor in spatiu de la un punct la o dreapta.

PUNCTE. DREPTE. PLANE. DETERMINAREA DREPTEI.

PUNCTUL

Punctul poate fi comparat cu urma lasata de creion pe hartie. Se noteaza cu literele mari ale alfabetului: A;B;C…..Punctul nu are dimensiuni. Intersectia a doua drepte determina un punct.

DREAPTA

Dreapta poate fi comparata cu un fir bine intins. Dreapta este nemarginita. Se noteaza cu literele mici ale alfabetului:a,b,c,d..

Dreapta este formata dintr-o multime de puncte, numite coliniare.

PLANUL

Planul poate fi comparat cu suprafata unui geam (masa) dar presupus marginit.

Planul se deseneaza ca un paralelogram si se noteaza cu literele mici ale alfabetului grecesc: α;β; χ;δ .... etc.

g Observam ca in desen avem o dreapta d este chiar in plan; o dreapta care inteapa planul, g;

punctele A si B, unul in plan si unul inafara planului.

Vom putea scrie : d ⊂ α; g ⊄ α;B ∈α; A∉α

Definiții, observații

Definiție
1. Două drepte în spațiu sunt perpendiculare dacă unghiul lor este drept.
Definiție

1. O dreaptă x este perpendiculară pe planul β dacă dreapta x este perpendiculară pe orice dreaptă din planul β.
2. Definiție
  1. Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul lor este drept .

Teoreme de perpendicularitate în spațiu
1. 1. Existența și Unicitatea perpendicularei
    1. 1. Prin orice punct se poate duce o singură perpendiculară pe o dreaptă.
      2. Prin orice punct se poate duce o singură perpendiculară pe un plan.
      3. (problemă la cub)
  2. a) Teorema de perpendicularitate a unei drepte pe un plan
  3. Dacă o dreaptă x este perpendiculară pe 2 drepte concurente , aflate într-un plan ,atunci dreapta x este perpendiculară pe plan.
  4. b) Teorema poate fi dată și astfel:
  5. Dacă o dreaptă x este perpendiculară pe 2 drepte concurente , atunci dreapta x este perpendiculară planul celor 2 drepte concurente.

1. Teorema de perpendicularitate a 2 plane
  1. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe planul β , atunci orice plan δ (delta) care conține dreapta x este și el perpendicular pe planul β.
  2. sau
  3. Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe alt plan , atunci cele două plane sunt perpendiculare.
2. Teorema de incluziune a perpendicularei

- 1. Dacă β perpendicular pe planul δ => perpendiculara dintr-un punct A al planului β intersectează (cade) pe muchia celor două plane β și δ.

1. Teorema celor 3 perpendiculare

- 1. Dacă
    1. 1. dreapta AB este perpendiculară în punctul B pe planul β , B în β,
      2. dreapta BC este perpendiculară pe dreapta CD ,
      3. BC și CD incluse în planul β,
  2. atunci dreapta AC este perpendiculară pe dreapta CD.

1. Matematic se scrie , pe scurt, astfel:
2. AB ⊥ β, B ∈ β , BC ⊥ CD , unde BC și CD ⊂ β ⇒ AC ⊥ CD.
3. Teorema poate fi dată și astfel :
  1. - Dacă AB este perpendiculară pe planul dreptelor concurente și perpendiculare CB și CD , atunci dreapta AC este perpendiculară pe dreapta CD.

- - Matematic se scrie , pe scurt, astfel:
    - AB ⊥ (CB ⊥CD) => AC ⊥CD

- 1. Reciproca 1 a teoremei ceor 3 perpendiculare (nu este în programă dar e utilă)
  2. Dacă
    1. 1. dreapta AB este perpendiculară în punctul B pe planul β , B în β,
      2. dreapta AC este perpendiculară pe dreapta CD, cu CD în planul β ,
  3. atunci AC este perpendiculară pe CD.

1. Matematic se scrie , pe scurt, astfel:

- - 1. AB⊥ β și
    2. BC ,CD ⊂ β și
    3. AC ⊥ CD ,
    4. atunci BC ⊥ CD.

1. sau

- 1. Dacă AB este perpendicular pe planul dreptelor concurente CB și CD și AC este perpendiculară pe CD, atunci dreapta BC este perpendiculară pe dreapta CD.
  2. Reciproca 2 a teoremei ceor 3 perpendiculare (nu este în programă dar e utilă)

- 1. Dacă A este exterior planului β al dreptelor concurente BC și CD
  2. și dacă AB ⊥ BC și BC ⊥ CD și CA ⊥ CD,
  3. atunci dreapta AB ⊥ β.
  4. sau
  5. altă formă:
  6. AB ⊥ BC, BC ⊥ CD , CD ⊥ AC și A ∉(BCD) => AB ⊥ (BCD ).