Embedded Files
Teorema Fermat
Fie o funcție derivabilă pe intervalul I.
Dacă punctul a este un punct de extrem din interiorul intervalului
Observații
1. Teorema lui Fermat spune că dacă o funcție este derivabilă pe un interval I, atunci punctele de extrem din interiorul intervalului I se gasesc printre punctele critice.
2. Concluzia teoremei lui Fermat este valabilă si dacă în locul condiției ca f să fie derivabilă pe I punem condiția ca f să fie derivabilă doar în punctul de extrem considerat.
3. Reciproca teoremei lui Fermat este falsa, adică din faptul că derivata într-un punct este nulă nu rezultă neapărat că acest punct este de punct de extrem.
Exemplu:
Pentru funcția originea este punct critic dar nu este extrem, usor de determinat din derivata functiei.
4. Dacă un punct de extrem este situat la un capăt al intervalului I, nu rezultă numaidecat că derivata în acel punct este nulă.
Exemplele 1 si 2:
Pentru funcția strict crescătoare minimul se gaseste în 2 iar maximul în 5, dar derivata nu se anulează în nici un punct din domeniul de definitie.
Punctele și sunt puncte de extrem ale graficului considerat dar tangentele la grafic în aceste puncte nu sunt orizontale (adica paralele cu Ox).
5. Pot exista puncte de extrem în care funcția sa nu fie derivabilă.
Teorema Rolle
Fie functia Dacă:
a) f este continuă pe intervalul inchis
b) f este derivabilă pe intervalul deschis
c) si respecta conditia ca
atunci există astfel încât (adica derivata functiei are cel puțin o rădăcină în intervalul
)
Teorema lui Lagrange
Teorema lui Lagrange (teorema de medie sau teorema creșterilor finite) este unul dintre cele mai importante rezultate din analiza matematică:
Dacă este:
a) funcție continuă pe
b) funcție derivabilă pe atunci există astfel încât
Teorema Cauchy
Se considera funcțiile care verifică:
(a) f și g sunt continue pe intervalul inchis
(b) f și g sunt derivabile pe intervalul deschis
(c) nenula, pentru orice
atunci există o valoare astfel încât:
Page updated
Google Sites
Report abuse